第五章-能带理论

04_01_布洛赫定理——能带理论第五章能带理论自由电子模型虽然能解释金属的导电、导热、电子比热等现象，但由于忽略了晶体势场，在解释很多实验现象时，遇到了严重困难。如无法解释导体、半导体、绝缘体之间的电阻率的显著差别；非金属晶体的实验现象。要想正确地解释有关晶体的实验现象，说明晶体的物理性能，就必须考虑晶体势场对电子运动的影响。04_01_布洛赫定理——能带理论在晶体势场中运动的电子表现出很多新特点电子波函数为调幅平面波电子能量的本征值既不象孤立原子中分立的电子能级，也不象无限空间中自由电子具有的连续能级而是在一定能量范围内准连续分布的能级——能带两能带间的范围——禁带能带理论是研究晶体中的电子状态，说明晶体性质的最重要的基础理论。它是量子力学、量子统计理论在固体中应用的最直接、最重要的结果。04_01_布洛赫定理——能带理论能带理论——研究固体中电子运动的主要理论基础——定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点——晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距——能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展——随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算——说明了导体、非导体的区别04_01_布洛赫定理——能带理论能带理论是单电子近似的理论——把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动能带理论的出发点——固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动的共有化电子晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动波动方程22[V(r)]E2mnV(r)V(rR)晶格周期性势场04_01_布洛赫定理——能带理论单个电子在周期性势场中的运动问题处理第一步简化——绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上第二步简化——多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动第三步简化——所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场04_01_布洛赫定理——能带理论单个电子在周期性势场中的运动问题处理能量本征值的计算——选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体电子态的波函数按此函数集合展开电子波函数的计算——根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到具体的波函数——将电子波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数所满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值04_01_布洛赫定理——能带理论§5.1布洛赫定理22[V(r)](r)E(r)2m——方程的解具有以下性质nikRn(rR)e(r)——布洛赫定理为一矢量——当平移晶格矢量——波函数只增加了位相因子布洛赫定理——势场具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程()Vrk04_01_布洛赫定理——能带理论晶格周期性函数ikrk(r)eu(r)knkurRur()()根据布洛赫定理电子的波函数——布洛赫函数布洛赫定理的证明——引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者具有相同的本征函数——利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出电子波函数的形式04_01_布洛赫定理——能带理论——势场的周期性反映了晶格的平移对称性晶格平移任意矢量势场不变——在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符TTT123,,平移任意晶格矢量对应的平移算符mmmmTRTaTaTa312112233()()()()04_01_布洛赫定理——能带理论作用于任意函数——平移算符作用于周期性势场平移算符的性质各平移算符之间对易对于任意函数TTTT04_01_布洛赫定理——能带理论平移算符和哈密顿量对易对于任意函数和微分结果一样THHT由于对易关系，T和H有共同的本征函数。f(r)04_01_布洛赫定理——能带理论平移算符的本征值三个方向上的原胞数目引入周期性边界条件总的原胞数——T和H存在对易关系，选取H的本征函数，使它同时成为各平移算符的本征函数HETTT112233,,04_01_布洛赫定理——能带理论对于3323liNe对于对于2222liNe1121liNe——整数1121Nile04_01_布洛赫定理——能带理论——引入矢量lllkbbbNNN312123123——倒格子基矢满足ijijab2平移算符的本征值ikaikaikaeee312123,,将作用于电子波函数112233()()ikmamamaer123,,bbb04_01_布洛赫定理——能带理论)()(ruerkrkimikRmrRer()()——布洛赫定理电子的波函数满足布洛赫定理——晶格周期性函数——布洛赫函数04_01_布洛赫定理——能带理论平移算符本征值的物理意义1）——原胞之间电子波函数位相的变化ikaikaikaeee312123,,2）平移算符本征值量子数k——简约波矢，是对应于平移操作本征值的量子数——它的物理意义是表示原胞之间电子波函数相位的变化——不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同3）简约波矢改变一个倒格子矢量nGnbnbnb112233平移算符的本征值k04_01_布洛赫定理——能带理论简约波矢改变一个倒格子矢量，平移算符的本征值不变，为了使简约波矢的取值和平移算符的本征值一一对应，将简约波矢的取值限制第一布里渊区jjjbbk22lllkbbbNNN312123123简约波矢简约波矢的取值第一布里渊区体积Vc原胞体积04_01_布洛赫定理——能带理论简约波矢lllkbbbNNN312123123——在空间中第一布里渊区均匀分布的点3(2)V33(2)(2)ccNVNV每个代表点的体积状态密度简约布里渊区的波矢数目cVNV晶体体积04_01_布洛赫定理——能带理论3(2)V状态密度33284VV状态密度：每单位空间体积所包含的允许数目与自由电子气模型结果完全一致单位空间体积允许的单电子态数为：04_01_布洛赫定理——能带理论布洛赫函数的一般性质1.具有被周期函数所调幅的平面波形式ikrkreur()()与自由电子波函数相比很象自由粒子在晶体内传播的行进平面波起调制这个平面行进波的作用，使其振幅由一个原胞到另一个原胞周期地振荡。如果不考虑周期场的作用，则变为常数——还原为自由电子波函数。1()ikrkreV()kur()kur()kr04_01_布洛赫定理——能带理论粗略地说，反映电子在各原胞之间的公有化运动则反映电子在原胞内的运动由于势场具有周期性，电子在各原胞相应点出现的几率相等。()kurikre222()()()kkkrRrur04_01_布洛赫定理——能带理论2.电子的波矢和电子的晶体动量波矢量，可以用它来标记电子的状态，起一个量子数的作用，不同的代表不同的状态，的取值可被限制在第一布里渊区。简约波矢的物理意义是表示原胞之间电子函数相位的变化。一个确定的值，有一个确定的相位，对应一个波函数。在在第一布里渊区中，的取值总数为N。04_01_布洛赫定理——能带理论对自由电子波函数，是动量算符的本征值，是处于状态的电子动量，对布洛赫波函数一般情况下，上式右边第二项不为零。所以不是动量算符的本征态，虽然是具有动量量纲的量，但不是电子的真实动量。但在研究晶体电子在外场作用下运动，电子—声子，电子—电子作用时，在形式上起电子动量作用。所以称电子的赝动量（或电子的晶体动量）04_01_布洛赫定理——能带理论3.布洛赫波函数是电子的晶体轨道是整个晶体中的扩展态，不是局限在特定原子附近运动的局域态。04_01_布洛赫定理——能带理论§5.2一维周期场中近自由电子近似一、模型和微扰计算近自由电子近似模型——金属中电子受到原子实周期性势场的作用——假定势场的起伏较小零级近似——用势场平均值代替原子实产生的势场周期性势场的起伏量作为微扰来处理VVx()VxVV()04_01_布洛赫定理——能带理论1.零级近似下电子的能量和波函数——空格子中电子的能量和波函数一维N个原子组成的金属，金属的线度零级近似下薛定谔方程波函数和能量本征值kkEVm220201()ikxkxeL04_01_布洛赫定理——能带理论波函数满足正交归一化klNa2Lkkkkdx00''0*——l为整数2.微扰下电子的能量本征值哈密顿量满足周期边界条件04_01_布洛赫定理——能带理论根据微扰理论，电子的能量本征值kkkkEEEE0(1)(2).一级能量修正kE(1)004_01_布洛赫定理——能带理论二级能量修正kkkkkHkEEE2(2)00'''|'|——按原胞划分写成——引入积分变量xna——04_01_布洛赫定理——能带理论利用势场函数的周期性NaikknaikknkVxkeeVdNa1(')(')001'|()|()i)ii)xna04_01_布洛赫定理——能带理论将和代入(')021''|()|()()2''|()|0aikkkknkVxkVneVdaakknkVxka——周期场V(x)的第n个傅里叶系数kknakHkVnkknakHk'2/'|'|()'2/'|'|004_01_布洛赫定理——能带理论二级能量修正式kkkkkHkEEE2(2)00'''|'|nknVEnkkma2(2)222'[(2)]2不包含n=0项04_01_布洛赫定理——能带理论nknVkEVnmkkma222222'2[(2)]2计入微扰后电子的能量04_01_布洛赫定理——能带理论3.微扰下电子的波函数电子的波函数kkkxxx0(1)()()().波函数的一级修正01()ikxkxeLkkkkkkHkEE(1)0'00'''|'|04_01_布洛赫定理——能带理论2(1)2221'[(2)]2nixikxnaknVeenLkkma计入微扰电子的波函数222211()'[(2)]2nixikxikxnaknVxeeenLLkkma04_01_布洛赫定理——能带理论22221(){1'}[(2)]2nixikxnaknVxeenLkkma令可以证明1()()ikxkkxeuxL电子波函数——具有布洛赫函数形式04_01_布洛赫定理——能带理论电子波函数的意义i)电子波函数和散射波—波矢为k的前进的平面波—平面波受到周期性势场作用产生的散射波散射波的波矢相关散射波成份的振幅04_01_布洛赫定理——能带理论散射波在原来零级波函数中,将掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数，且它们的能量差愈小，掺入的成分愈大。一般情况下，各原子所产生的散射波的位相之间没有什么关系，彼此相互削弱，对前进的平面波影响不大，散射波中各成分的振幅较小，这时晶体中电子的状态与自由电子很相似，这正是微论适用的情况。04_01_布洛赫定理——能带理论值得特别注意的是，当散射波an2电子入射波波长——布拉格反射条件在正入射时的结果2sindn——相邻原子的散射波有相同的位相04_01_布洛赫定理——能带理论波函数一级修正项nVnkkma222[(2)]2散射波成份的振幅22221[(2)]2nixikxnanVeenLkkma——微扰法不再适用了入射波波矢04_01_布洛赫定理——能带理论ii)电子波函数和不同态之间的相互作用掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数在原来的零级波函数中——它们的能量差越小掺入的部分就越大(2)0'1()nikxakxeL04_01_布洛赫定理——能带理论当时——两个状态