AR模型谱估计

AR模型谱估计平稳随机信号的参数模型•参数模型法的思路：①假定所研究的过程是一个输入序列激励一个线性系统的输出;②由已知的,或其自相关函数来估计的参数;③由的参数来估计的功率谱。)(nu)(nx)(zH)(nx)(nu)(zH)(nx)(mrx)(zH)(zH)(nx平稳随机信号的参数模型qkkpkkknubknxanx01)()()(0)()()(kknukhnx)()()(zAzBzHpkkkzazA11)(qkkkzbzB11)(0)()(kkzkhzH)(jwxeP222)()(jwjweAeB212221)(pkjwkkjweaeA0kb为白噪声的方差2)(kuAR模型全极点：该模型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。•经常使用的参数模型是线性模型,其中以有理分式•型应用最为普遍,有理分式模型一般表现为自回归动均•模型,即ARMA模型,自回归模型(AR模型)和动均模•型(MA模型)都是YuleWalker模型的特殊情况。事•实上,白噪声序列通过全极点型、全零点型滤波器会分•别产生AR,MA和ARMA过程。在这三种参数模型•中,AR模型得到了普遍应用,因为AR模型的参数计•算是线性方程,比较简单,与建立在外推自相关函数时•保持原概率空间的最大熵法是等价的,同时很适合表示•很窄的频谱,在作谱估计时,由于具有递推特性所以所•需的数据较短;而MA模型表示窄谱时一般需要数量很多的参数;ARMA模型虽然所需的参数数量最少,但•参数估计的算法是非线性方程组,其运算远比AR模型•复杂,故AR模型参数估计是重点。•AR模型法•AR模型法的基本理论•任何具有功率谱密度的随机信号都可以看成由白•噪声激励一物理网络所形成,可写成:该形式称为p阶自回归模型,简称AR模型。将其进行z变换可得AR模型的传递函数为:•自回归模型的H(z)只有极点,没有除原点以外的零点,因此又称为全极点型。当用自回归模型时,功率谱密度的表达式写成:式中:为白噪声的功率谱密度。因此只要求解出及所有的值,就可以得到随机信号x(n)的功率谱。目前估计AR模型参数的方法有:(1)相关函数类算法:(2)反射系数类算法:(3)最小二乘类算法:•(1)相关函数类算法:先估计自相关序列,然后解YuleWalker方程算出AR系数,计算出功率谱。经•常使用有偏自相关估计,以保证自相关矩阵正定性,此•法适于较长的序列。•(2)反射系数类算法:它不需要估计过程的自相关函数,而是按照Levinson递推公式直接从序列值递推计算预测误差和反射系数(递推估计反射系数时,是使各阶的平均预测误差功率最小),最后得到模型系数,计算出功率谱。优点是分辨率高,适于短序列。具体的算法有Burg算法和Itakura算法,两者的主要区别在于计算平均预测误差功率的方法不同,前者采用向前、向后预测误差功率的算术平均而后者取几何平均。•(3)最小二乘类算法:可有多种算法,例如直接用LS方法拟合出模型参数或是采用FTF算法求出模•型参数。•AR模型法的仿真•YuleWalker方程•采样频率为200Hz,采样点数为50和200时,采•用YuleWalker方程的仿真图。•当采样点数为50时,在频率为40Hz处的谱峰明显向左偏移,且在频率为60~70Hz之间出现了虚假谱峰。当采样点数为200时,谱峰回到40Hz处,且虚假谱峰的幅度变小。因此YuleWalker方程的性能可通过增加采样点数来解决。•AR模型的参数和x(n)自相关函数有如下的关系:•将上式写成矩阵的形式:•即是AR模型的正则方程,又称尤拉沃克•(YuleWalker)方程。AR模型参数估计的典型算法•1.自相关法•自相关法是AR模型参数求解中最简单的一种方法。L-D递推算法是在满足前向预测均方误差最小的前提下,先求得观测数据的自相关函数,然后利用YuleWalker方程的递推性质求得模型参数,进而求得功率谱的估值。它是模型阶次逐次加大的一种算法,即先计算阶次m=1时的预测系数，再计算m=2时的a2(1),a2(2)和σ2,按此依次计算到阶次m=p时的ap(1),ap(2),…,ap(p)及2p,当2p满足精度要求时即可停止递推。•递推公式为:•Burg算法•用Burg算法进行功率谱估计时令前后向预测误差功率之和最小,即对前向序列误差和后向序列误差前后都不加窗,使用LevinsonDurbin递推可快速的求解AR系数。Burg算法与自相关法不同,它是使序列x(n)的前后向预测误差功率之和:最小。在上式中,当阶次由1至p时,和（n）有以下的递推关系:可知仅为km的函数。令,可得到:•再利用Levinson2Durbin递推算法可得AR模型系数:•Burg算法是建立在数据基础之上的,避免了先计算自相关函数从而提高计算速度;是较为通用的方法,计算不太复杂,且分辨率优于自相关法,但对于白噪声加正弦信号有时会出现谱线分裂现象。改进协方差算法•同Burg算法一样,改进协方差（修正协方差）算法进行功率谱估计时令前后向预测误差功率之和最小,即对前后向预测误差都不加窗,但得到的协方差矩阵不是Toeplitz矩阵,因此正则方程不能用Levinson递推算法求解。Marple于1980年提出了实现协方差方程求解的快速算法,大大提高了谱估计的性能。•参数提取时,利用Matlab工具箱中的信号处理中的Levinson函数和arburg函数来分别进行自相关算法和Burg算法的AR模型参数估计,以AR模型功率谱估计及Matlab实现平稳随机信号•clc;•clear;closeall;•fs=1000;%采样率1000•N=1;%改变数据长度•p=50;%AR模型阶数•nfft=512;%fft长度•t=0:1/fs:N;•wn=sqrt(1)+randn(1,N*fs+1);%白噪声,均值0,方差1•s1=sqrt(20)*sin(2*pi*100*t);%正弦信号1,信噪比10db•s2=sqrt(2000)*sin(2*pi*110*t);%正弦信号2,信噪比30db•x=s1+s2+wn;%观测数据•%figure,plot(t,x);•x1=xcorr(x,'biased');•[Pxx,f]=pyulear(x1,p,nfft,fs);%Yule-Walker方程•figure,plot(f,10*log10(Pxx));•gridon;•title('自相关法');•[Pxx1,f1]=pcov(x,p,nfft,fs);•figure,plot(f1,10*log10(Pxx1));•gridon;•title('协方差法');•[Pxx2,f2]=pmcov(x,p,nfft,fs);•figure,plot(f2,10*log10(Pxx2));•gridon;•title('修正协方差法');••[Pxx3,f3]=pburg(x,p,nfft,fs);•figure,plot(f3,10*log10(Pxx3));•gridon;•title('Burg法');从上图可以看出，采用参数建模的谱估计方法得到的功率谱曲线平滑（方差小），分辨率高，可以明显地观察到两个谱峰。0100200300400500-80-60-40-2002040自相关法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-50510协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-505修正协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-505Burg法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015Burg法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015修正协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015协方差法0100200300400500-80-60-40-200204060自相关法•降低模型阶次后，可以发现，谱的分辨率降低（两个谱峰几乎变成一个谱峰），但是曲线平滑性变好（估计误差降低0100200300400500-80-60-40-2002040自相关法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-50510协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015修正协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-50510Burg法thanks•通过对功率谱的仿真比较可以得到:自相关法的计算简单,但谱估计的分辨率较差,而Burg算法和改进协方差算法是较为通用的方法,计算不太复杂,且具有较好的谱估计质量。