高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结

1高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：⑴以为圆心的同心圆系方程⑵过直线与圆的交点的圆系方程⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。当时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即………………….①依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即2依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①即4y9x05yx01y2x解得，∴直线过定点P（9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.2x+y－7=0，x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝5＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－21，∴l的方程为2x－y－5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：∵曲线24xy表示半圆)0(422yyx，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是22m或22m.变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=21y恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.解析：利用数形结合.答案：－1＜k≤1或k=－2例6圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r．设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123dr．∴与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1的直线和圆的交点．设∵m∈R，∴得3所求直线为043myx，则1431122md，∴511m，即6m，或16m，也即06431yxl：，或016432yxl：．设圆9)3()3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d．∴1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．∴圆1O到01143yx距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．类型三：圆中的最值问题例7：圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22yx的圆心为（2，2），半径23r，∴圆心到直线的距离rd25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(rrdrd.例8(1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222yxO：，),(yxP为圆上任一点．求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(22yx．可设圆的参数方程为,sin4,cos3yx（是参数）．则2222sinsin816coscos69yxd)cos(1026sin8cos626（其中34tan）．所以361026maxd，161026mind．(法2)圆上点到原点距离的最大值1d等于圆心到原点的距离'1d加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离'1d减去半径1．所以6143221d．4143222d．所以36maxd．16mind．(2)(法1)由1)2(22yx得圆的参数方程：,sin,cos2yx是参数．则3cos2sin12xy．令t3cos2sin，得tt32cossin，tt32)sin(121)sin(1322tt433433t．所以433maxt，433mint．即12xy的最大值为433，最小值为433．4此时)cos(52sin2cos22yx．所以yx2的最大值为52，最小值为52．(法2)设kxy12，则02kykx．由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．由11222kkkd，得433k．所以12xy的最大值为433，最小值为433．令tyx2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值．由152md，得52m．所以yx2的最大值为52，最小值为52．例9、已知对于圆1)1(22yx上任一点),(yxP，不等式0myx恒成立，求实数m的取值范围．设圆1)1(22yx上任一点)sin1,(cosP)2,0[∴cosx，sin1y∵0myx恒成立∴0sin1cosm即)sincos1(m恒成立．∴只须m不小于)sincos1(的最大值．设1)4sin(21)cos(sinu∴12maxu即12m．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(rbyax上的点设为)sin,cos(rbra()2,0[)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．