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数学知识的理解和教学人民教育出版社章建跃zhangjy@pep.com.cn一、教师专业发展的三大基石•理解数学，理解学生，理解教学。•“三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。•特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。例1数系扩充的基本思想是什么•数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。•数系的扩充：引入一种新的数，就要定义其运算；定义一种运算，就要研究其运算律。•扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。•为什么说在有理数乘法法则的教材设计中，渗透了数系扩充的基本思想——原有数系的运算和运算律保持不变？例2等式、不等式的基本性质的本质是什么？•等式两边同加（减、乘、除）同一个数（式），等式不变；•不等式两边同加（减、乘、除）同一个数（式），不等式不变；•它们的共同点是什么？二、功利化环境下数学教育的问题•应试占据主导地位的数学教育，注重考试分数、升学率等眼前利益，忽视理性精神、数学能力等长期利益，已经变成了“唯分数”的功利化教育，违背了德育为先、能力为重、全面发展的要求。具体表现•数学教学“不自然”，强加于人，压抑了学生的数学学习兴趣；•缺乏问题意识，不利于创新精神和实践能力的培养；•不善于甚至不重视基本概念、数学思想方法的教学，缺少必须的抽象、概括活动，不利于学生数学素养的提高；•重结果轻过程，概念教学搞“一个定义，三项注意”，缺少一以贯之的逻辑思考和数学推理活动，损害数学思维过程的完整性，不利于数学思维能力的培养；•解题教学注重“题型+技巧”，学生机械重复、模仿记忆，缺少独立思考的机会，数学思维发展迟缓，并导致学生数学课业负担过重；•学生学习方法单一、被动，缺少归纳、抽象等活动，对培养学习习惯、数学能力、数学素养以及创新精神等不利。三、课堂教学的高立意与低起点•立意不高——许多教师的“匠气”太浓，“题型+技巧”的教学，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求。•数学的“育人”功能如何体现？——挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。•关键：提高思想性。•“技术”：加强“先行组织者”的使用。例3体现几何研究“基本套路”的四边形起始课•从具体事例中抽象出“基本图形”后按照如下“套路”展开：•定义——表示——分类——性质（判定）——特例•什么叫性质？从哪几个方面研究性质？具体切入点在哪里？•一类数学对象的共性就是性质，变化中的不变性、规律性就是性质；•几何要素以及相关要素之间的位置关系、度量关系。•先概括三角形中研究的问题、线索和基本方法：定义（组成元素、分类）—三角形的性质（变化中的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）—三角形的全等（确定三角形的条件）—特殊三角形的研究（角特殊—直角三角形、边特殊—等腰三角形，性质、判定）—相似三角形（性质、判定）——……•目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的“基本套路”。•再提出问题：你能类比给出“四边形”研究的问题、线索和方法吗？•一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角和）；•特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；•边的特殊性——平行四边形：性质和判定；“性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；•特殊的平行四边形：角的特殊——矩形，边的特殊——菱形，边角都特殊——正方形，都要研究性质和判定。•研究的方法：化归为三角形、平行线的性质等已有知识；•特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形——直角三角形；菱形——等腰三角形；•梯形……这段教材有什么问题?这一段教材的问题•片面理解“学生的现实”，只讲“生活的现实”，忽视“数学的现实”；•违背数学的基本精神——简单问题复杂化；•丧失培养学生“发现和提出问题能力”的机会；•破坏数学的内在逻辑，使学生失去逻辑推理训练的机会，削弱数学的育人功能；•人为编造情境，不仅造成理解困难，而且使学生产生对数学的不良感受；•误导师生——以为这就是数学的探究过程；•……新版教材做出的调整•平行四边形的性质的教学过程——“试验+论证”，注意从定义出发，强调“对平行四边形的几何要素和相关要素的位置关系、大小度量的研究”；•平行四边形的判定的教学过程——“试验+猜想+论证”，注意利用判定与性质的关系，从性质直接猜想判定，再加以论证；•菱形的教学过程——从定义出发，研究特殊的平行四边形“特在什么地方”，“猜想+论证”。例4体现代数研究基本套路的乘法公式教学•代数研究的基本套路：•背景（实际需要、数学概念发展的需要）——定义——分类（如数的分类、代数式的分类、方程的分类、数列的分类、函数的分类等）——运算法则、运算律——性质——特例乘法公式的理解及教学设计•多项式运算就是含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）；•两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算——运算法则；•乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题，是一个模式。乘法公式蕴含的思想方法•乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察，寻找一个模式：•在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即（1）c=a，d=－b时为平方差公式；（2）c=a，d=b时为完全平方和公式；等。从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”。用运算律对这些符号进行形式运算，还可以归纳地得到：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；……niiininnbaCba0。(a2+ab+b2)(a－b)=a3－b3；(a3+a2b+ab2+b3)(a－b)=a4－b4；……110nnniiinbababa。教学过程设计•1．复习与引入•问题1前面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的依据是什么？•设计意图：回顾运算法则，强化“用运算律计算”的意识。•先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中，我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。•2．公式的探究•问题2(x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？•设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。•问题3请你用自己的语言表述平方差公式、完全平方公式。•设计意图：帮助学生理解公式。•3．例题•本环节主要目的是通过变式（字母a，b取数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算”中的作用。另外，通过适当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式(a+b)(a－b)或(a±b)2，就可以用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表b。•4．公式的多元联系表示•问题4如果a，b表示线段的长，则a2，b2分别表示正方形的面积。你能根据公式的形式，自己构造一个图形表示上述乘法公式吗？•设计意图：通过构造几何模型表示公式，以开拓学生的思路。通过数形结合、图形直观，以加深理解、增强记忆。•5．小结•（1）请你总结一下本节课讨论问题的基本过程。•设计意图：引导学生总结“基本套路”，即“多项式乘法（一般）——乘法公式（特殊）——公式特征分析——与相关知识的联系”。•（2）你能说说公式的结构特点吗？应用时应注意哪些问题？•设计意图：注重知识的使用条件。•（3）能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？•设计意图：引导学生自主研究。必要时可作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广“次数”，可以研究(a+b)3，(a+b)4……；或推广字母个数(a+b+c)2。虽不是“课标”的要求，但对学生思维发展是有好处的。•提高课堂教学的立意，是落实“教育中的科学发展观”，全面关注学生的发展。•当前，社会功利化、各级政府的教育行政主管部门等以升学率为主要考核标准的不良导向，导致教育的短期行为愈演愈烈，“全面关注”变成了“只关注分数”，而且为了分数可以不择手段——竭泽而渔。四、提高概念的教学水平1．当前概念教学的问题•概念教学走过场，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠．•有些老师不知如何教概念．危害•以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨．学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空．2．教概念的意义•李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！3．概念教学的核心•概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。4．理论依据•概括是人们掌握概念的直接前提；•概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础；•概括是科学研究的关键机制；•学习和应用知识的过程也是概括的过程；•数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学能力训练的基础；•概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。5.概念教学的基本环节•概念的引入——借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；•概念属性的归纳——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征；•概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；•概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；•概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；•概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。例5三角函数起始课——任意角•立意：以数学概念的发生发展过程为载体，使学生经历完整的数学研究过程，逐步学会认识和解决问题的方法。明确问题，获得对象，确定内容，选取方法，实施过程，获得结论。(1)如何“开篇”•本课是“三角函数”的“开篇”，应发挥“先行组织者”的作用。•要充分重视构建本章的基本研究思路的教学，为整章学习做好准备。•解决好两个问题：第一，为什么要学习本章内容；第二，从哪里入手。为什么要学习本章？•已有的函数模型不能解决“周而复始”的变化规律的刻画问题。•“周而复始”现象中，最本质的就是匀速圆周运动。数学中，研究一类现象，往往从简单而本质的情形入手。因此，可以进一步地把刻画单位圆上的匀速圆周运动作为研究“周而复始”现象的起点。从哪里入手？•确定单位圆周上点的匀速运动的要素是什么？可用带有方向的角或带有方向的弧长来刻画（这里可以类比“相反意义的量”和“负数的引入”）。如果用同样的“单位长度”来度量角和弧长的话，两者就可以统一。所以，把角作为原始变量，再用单位圆的弧长来度量角，就可为刻画匀速圆周运动提供必要的基础。这样，把角推广到“任意角”、引进“弧度制”是需要先做的事情。(2)如何获得“任意角”概念•角是“转”出来的。•类比：用正、负数表示具有相反意义的量，以及确定一个“平面图形的旋转”的“三要素”，给定角的始边，只要确定了旋转的方向和旋转量，这个角就唯一确定了。•为了