概率论与数理统计知识点及练习题

第一章概率论的基本概念§1.2概率的定义一、概率的性质（1）1)(0AP.（2）0)(P，1)(SP.（3）()()()()PABPAPBPAB.（4）)(1)(APAP.（5）)()()()(ABPAPBAPBAP.特别地，若AB，)()()(BPAPBAP，)()(APBP.例设,AB为随机事件,()0.4,()0.3PAPBA，则()_____.PAB解：,3.0)()()(ABPBPABP()()()()0.7PABPAPBPAB§1.4条件概率一、条件概率定义设BA,是两个事件，且0)(AP，称)|(ABP=)()(APABP为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。二、全概率公式全概率公式：12,,,LnAAA为样本空间S的一个事件组，且满足：（1）12,,,LnAAA互不相容，且),,2,1(0)(niAPi;(2)12LnAAAS.则对S中的任意一个事件B都有)()()()()()()(2211nnABPAPABPAPABPAPBPA1A2……………AnB例设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为201,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？解以1A、2A、3A表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以B表示事件“取得的产品为正品”，于是：;2019)|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321ABPABPABPAPAPAP按全概率公式，有：112233()(|)()(|)()(|)()PBPBAPAPBAPAPBAPA92.010220191031514105109三、贝叶斯公式设B是样本空间S的一个事件，12,,,LnAAA为S的一个事件组，且满足：（1）12,,,LnAAA互不相容，且),,2,1(0)(niAPi;(2)12LnAAAS.则)()()()()()()()()|(11nnkkkkABPAPABPAPABPAPBPBAPBAP这个公式称为贝叶斯公式。例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若已知取得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少？解：设A1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则A1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球，设A2：表示从乙袋取的一球是红球，则814194949595)()|()()|()(11121122APAAPAPAAPAP）（12112255()(|)99(2)(|)41()81PAPAAPAAPA.§1.5事件的独立性一、事件的独立性定义.若两事件A，B满足)()()(BPAPABP,则称A，B相互独立。第二章随机变量及其分布§2.1一维随机变量一、随机变量与分布函数定义设E为一随机试验,S为E的样本空间,若()XX,S为单值实函数，则称X为随机变量。定义设X为一个随机变量，x为任意实数，称函数)()(xXPxF为X的分布函数。分布函数的性质（1）1)(,0)(FF.（2）)(xF是自变量x的非降函数，即当21xx时，必有)()(21xFxF.因为当21xx时有0)()()(2112xXxPxFxF，从而)()(21xFxF.（3）)(xF对自变量x右连续，即对任意实数x，)()0(xFxFSeXRxox§2.2一维离散型随机变量一、离散型随机变量定义离散型随机变量X只可能取有限个或可列个值，设X可能取的值为,....,...,,21nxxx.定义设离散型随机变量X可能取的值为,....,...,,21nxxx，且X取这些值的概率为：kkpxXP)((,...),...,2,1nk则称上述一系列等式为随机变量X的分布律。由概率的定义知，离散型随机变量X的概率分布具有以下两个性质：（1）,......)2,1(,0kpk（非负性）（2）1kkp（归一性）二、几种常用的离散型分布1.0—1分布如果随机变量X只可能取0和1两个值，且它的分布列为)10(,1)0(,)1(ppXPpXP，则称X服从0—1分布。其分布律为：X10Pp1-p2.二项分布如果随机变量X只可能取的值为0,1,2,…,n，它的分布律为knkknqpCkXP)(,(),...2,1,0nk其中pqp1,10，则称X服从参数为pn,的二项分布，记为),(~pnbX3.泊松分布如果随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,它取各个值的概率为,...)2,1,0(,!)(kekkXPk，其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为~()X.例：设~()X，{1}{2},PXPX则(1)_______.PX例：设随机变量1~(2,)2Xb，则{1}PX.§2.3连续型随机变量的概率密度一、概率密度的概念定义设随机变量X的的分布函数为()Fx，如果存在一个非负可积函数)(xf，使得对于任意实数x，有：xdttfxF)()(则称X为连续型随机变量，而)(xf称为X的概率密度。由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度)(xf必须满足：（1）)(xf0；（2）1)(dxxf；（3）对于任意实数ba,，且ba有badxxfaFbFbXaP)()()(}{；（4）若)(xf在点x处连续，则有)()('xfxF.例设随机变量X具有概率密度0,00,)(3xxKexfx（1）试确定常数K；（2）求(0.1)PX；（3）求()Fx.解（1）由1)(dxxf，即dxxf)(=133)3(31033030KeKxdKedxKexxx得3K.于是X的概率密度0,00,3)(3xxexfx；（2）(0.1)PX1.0)(dxxf=7408.0331.0dxex;（3）由定义()Fx=xdttf)(。当0x时，()Fx=0；当0x时，()Fx=xdttf)(=xxxedxe33013所以0,00,1)(3xxexFx.二、几个常用的连续型随机变量的分布1.均匀分布如果随机变量X的概率密度为1,()0,axbfxba其他则称X服从],[ba上的均匀分布，记为),(~baUX。2.指数分布如果随机变量X的概率密度为10(;)0xxefx其他则称X服从参数为的指数分布。3.正态分布如果随机变量X的概率密度为)(,21)(22)(21xexfx；其中,,0为常数，则称X服从参数为,的正态分布，记为),(~2NX.特别的，当1,02时，称X服从标准正态分布，即)1,0(~NX，概率密度为)(,21)(22xexx标准正态分布的分布函数为xtxdtedxxx2221)()(对于标准正态分布的分布函数，有下列等式)(1)(xx21)0(定理如果),(~2NX则)1,0(~NX推论如),(~2NX，则)()()()(}{abaFbFbXaP例设)4,5.1(~NX，求)5.3(XP；解)5.3(XP=8413.0)1()25.15.3()5.3(F.例设随机变量~(1,4)XN，则{1}PX.§2.4随机变量函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布例设X的分布律为X1012kp0.10.20.30.4求21YX的分布律。解因为Y的可能取值为3,1,1,3，而且{3}{1}0.1PYPX，{1}{0}0.2PYPX，{1}{1}0.3PYPX，{3}{2}0.4PYPX因而,Y的分布律为Y3113kp0.10.20.30.4二、连续型随机变量的函数的分布设X是连续型随机变量，已知)(xfX为其概率密度，那么应当如何确定随机变量)(XgY的概率密度)(xfY呢？例设连续型随机变量X具有概率密度)(xfX，求随机变量YkXb（其中,kb为常数且0k）的概率密度)(xfY.解设Y的分布函数为)(yFY，当0k，则()YFy(){}{}{}()YXybybFyPYyPkXbyPXFkk上式两边对y求导数得)(1)(kbyfkyfXY当0k，则()YFy{}{}{}1()YybybPYyPkXbyPXFkk上式两边对ｙ求导数得1()()YXybfyfkk于是)(||1)(kbyfkyfXY第三章二维随机变量及其分布§3.1二维随机变量及分布函数定义设S为随机试验E的样本空间，X,Y是定义在S上的随机变量，则称有序数组(,)XY为二维随机变量或称为二维随机向量。定义设),(YX是二维随机变量，对于任意实数yx,，称二元函数),(),(yYxXPyxF为二维随机变量),(YX的分布函数，或称为),(YX的联合分布函数。二维随机变量的分布函数的性质（1）1),(0yxF；（2）),(yxF是变量yx,的不减函数，即：对于任意固定的y，当21xx时有),(),(21yxFyxF；对于任意固定的x，当21yy时有),(),(21yxFyxF.（3）对于任意固定的y，0),(lim),(yxFyFx；对于任意固定的x，0),(lim),(yxFxFy,并且0),(lim),(yxFFyx，1),(lim),(yxFFyx.二维离散型随机变量定义如果二维随机变量),(YX可能取的值只有有限个或可列个，则称),(YX为二维离散型随机变量。定义设二维随机变量),(YX所有可能取的值为,...)2,1,...;2,1(),,(jiyxji，则称,...)2,1,(,),(jipyYxXPijji为),(YX的联合分布律。二维离散型随机变量),(YX的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示：YX1y2y…jy...1x2x.ix.11p12p...jp1...21p22p...jp2..................1ip2ip...ijp..................显然，ijp具有以下性质：（1）ijpji,(,01,2,…）;（2）ijijp1;二维连续型随机变量定义设),(YX是二维随机变量，如果存在一个非负函数),(yxf，使得对于任意实数yx,，都有(,)(,)(,)yxFxyPXxYyfuvdudv则称),(YX是二维连续型随机变量，函数),(yxf称为二维连续型随机变量),(YX的概率密度。二维分布密度具有以下性质：（1）0),(yxf；（2）1),(dxdyyxf；（3）DdxdyyxfDYXP),(}),{(，其中D为XOY平面上的任意一个区域；（4）如果二维连续型随机变量),(YX的密度),(yxf连续，),(YX的分布函数为(,)Fxy，则),(),(2yxfyxyxF用性质的题在后面§3.2边缘分布与随机变量的独立性一、边缘分布称分量X的概率分布为),(YX关于X的边缘分布；分量Y的概率分布为),(YX关于Y的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作)(),(yFxFyx与)(),(yfxfyx。先看离散情况：若已知,...)2,1,(,),(jipyYxXPijji，则随机变量