数字电子技术基础第五版PPT第二章

第二章逻辑代数基础内容提要本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数，为后续课程打下基础。《数字电子技术基础》第五版作业题2.3题2.7题2.8题2.10（1）（6）题2.11(4)题2.12(2)题2.13(2)（3）题2.15(5)（9）题2.16(a)（c）题2.18(3)（5）（7）题2.22(3)题2.23(4)题2.25(3)本章的内容2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.1概述在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑，并按某种因果关系进行运算时，称为逻辑运算，最基本的三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”，它与算术运算的本质区别是“0”和“1”没有数量的意义。故在逻辑运算中1+1=1(或运算）2.1.1二值逻辑和逻辑运算数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、低电平，可以用二值变量（取值只能为0，l）来表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数的的数学工具来描述。2.1.2数字电路的特点及描述工具逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用，它首先是由英国数学家乔治.布尔（GeorgeBoole）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函数的基础。注意：1.逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变量。2.逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行十进制（0～9）数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个：“0”和“1”。并且“0”和“1”没有数值意义，它只是表示事物的两种逻辑状态。2.2逻辑代数中的三种基本运算在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种逻辑运算。与（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：与•与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。•Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY000010100111逻辑规律服从“有0出0，全1才出1”或•或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事件就会发生，即“有一即可•Y=AORB=A+BABY000011101111其逻辑规律服从“有1出1，全0才出0”非•条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生ANOTYAAY0110几种常用的复合逻辑运算•与非或非与或非“有0出1，全1才出0”有“1”出“0”全“0”出“1”几种常用的复合逻辑运算•异或•Y=ABABY000011101110符号“⊕”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值不同时Y=1，即不同为“1”相同为“0”，异或运算用异或门电路来实现异或运算的性质1.交换律：2.结合律：3.分配律：推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取“1”时，则函数为“0”；若奇数个变量取1时，则函数为1.4.ABBA()()ABCABC()ABCABAC1010AAAAAAAA几种常用的复合逻辑运算•同或•Y=A⊙BABY001010100111符号“⊙”表示同或运算，即两个输入变量值相同时Y=1，即相同为“1”不同为“0”。同或运算用同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门2.3.1基本公式2.3.2常用公式2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式•根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式序号公式序号公式101′=0;0′=110A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A证明方法：推演真值表A·0=0A+0=AA·1=AA+1=12.交换律、结合律、分配律a.交换律：AB=BAA+B=B+Ab.结合律：A（BC）=（AB）CA+（B＋C）=（A＋B）+Cc.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.关于变量与常数关系的定理说明：由表中可以看出a.互补律：b.重叠律：A·A=AA+A=Ac.非非律：d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=Ae.摩根定律：注：以上定律均可由真值表验证3.逻辑函数独有的基本定理01AAAA()AAAABAB()ABAB()ABAB公式（17）的证明（公式推演法）：左右BCABCCBABCACABACABA)())((1公式（17）的证明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序号公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′说明：1.A＋AB＝A：在两个乘积项相加时，如果其中一项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉；2.A＋AB＝A＋B：在两个乘积项相加时，如果其中一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，可从该项中删除；3.AB＋AB＝A：在两个乘积项相加时，如果它们其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合并，保留相同因子；4.A（A＋B）＝A：在当一项和包含这一项的和项相乘时，其和项可以消掉5.AB＋AC＋BC＝AB＋AC：在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉；公式AB＋AC＋BCD＝AB＋AC的原理和上述相同6.A（AB）＝AB：如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉；7.A（AB）＝A：当某个项取反和包含这一项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后逻辑函数的化简打好基础2.4逻辑代数的基本定理•2.4.1代入定理内容：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式2.4.1代入定理•应用举例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)2.4.1代入定理•应用举例：式（8）CBABCACBABCBBABA)()()(代入以内容：若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将Y式中所有的“.”换为“+”,“+”换为“.”,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，所有原变量（不带非号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数Y的反函数（补函数）Y。利用摩根定律，可以求一个逻辑函数的反函数。2.4.2.反演定理注意：1.变换顺序先括号，然后乘，最后加2.对跨越两个或两个以上变量的“非号”要保留不变；2.4.2反演定理•应用举例：DCBDACBCADCCBAYCDCBAY))(()(2.4.3.对偶规则对偶式：设Y是一个逻辑函数，如果将Y中所有的“+”换成与“·”，“.”换成与“+”，“1”换成与“0”，“0”换成与“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式YD称为Y的对偶式。如：()DYABCYABC()(1)(0)DYABACYABAC[()][()]DYABCYABC对偶规则：如果两个函数Y和G相等，则其对偶式YD和GD也必然相等。利用对偶式可以证明一些常用公式例1.1.5试利用对偶规则证明分配律A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立证明：设Y＝A＋BC，G＝(A+B)(A+C)，则它们的对偶式为故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C)()DDYABCABACGABAC由于DDYG证明：设则它们的对偶式为由于故Y＝G，即例1.1.6试利用对偶规则证明吸收律A＋AB＝A＋B式子成立YAABGAB()DDYAABAAABABGABDDYGAABAB2.5逻辑函数及其表示方法其中：A1,A2…An称为n个输入逻辑变量，取值只能是“0”或是“1”，Y为输出逻辑变量，取值只能是“0”或是“1”则F称为n变量的逻辑函数在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也是二值变量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即如Y＝A＋BC，表示输出等于变量B取反和变量C的与，再和变量A相或。2.5.1逻辑函数12(,)nYFAAA2.5.2逻辑函数的表示方法•真值表•逻辑式•逻辑图•波形图•卡诺图•计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换•真值表输入变量ABC····输出Y1Y2····遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值•逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。•逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。•波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。•卡诺图•EDA中的描述方式HDL(HardwareDescriptionLanguage)VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)VerilogHDLEDIFDTIF。。。举例：举重裁判电路ABCY00000010010001101000101111011111)(CBAY各种表现形式的相互转换：•真值表逻辑式例：奇偶判别函数的真值表•A=0,B=1,C=1使A′BC=1•A=1,B=0,C=1使AB′C=1•A=1,B=1,C=0使ABC′=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以Y=?ABCY00000010010001111000101111011110•真值表逻辑式：1.找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。3.将这些变量相加即得Y。4.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表•逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。)(CBAY•逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。)(BAB)(BAA))()((BABABABABABABABABA))(())()((•波形图真值表波形图真值表（1）由波形图得到真值表根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应的输出值例2.5.7已知逻辑函数Y的输出波形如图2.5.6所示，试分析其逻辑功能。解：由所给的波形写出输入输出的真值表，如表2.5.7所示由真值表可知，当输入变量A、B取值相同时，输出Y＝1；A、B取值不同时，输出Y＝0。故输出和输入是同或关系。其逻辑函数式为YBA111001010