第三节平面问题和轴对称问题2007

1第三节平面问题和轴对称问题讨论目的：求解一般的三向问题往往是很困难的，目前我们能处理的实际上都是一些比较特殊的问题。而且这些问题又是在工程上经常遇到的。例如平面应力问题和平面变形问题、轴对称问题。另外，某些三向问题也往往可以近似地简化成上述类型的问题。平面应力问题和平面变形问题、轴对称问题中的应力张量和平衡微分方程可以得到某些简化。因此，研究平面问题（包括平面应力问题和平面变形问题）、轴对称问题有重要的实际意义。2平面应力问题和平面变形问题统称为平面问题。金属塑性成形原理平面问题和轴对称问题平面问题平面问题的例子在塑性加工中是经常遇到的。平面应力问题平面变形问题平面问题3平面应力问题一、平面应力问题概念：若变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力状态即为平面应力状态。4平面应力问题平面应力问题中，所研究的是薄板一类的变形体，在其侧面上（边界上），受有平行于薄板两底面的一些力的作用如图。并且在薄板的两底面没有载荷作用。即两底面上σz=0、τxz=0、τyz=0。侧面因而只有σx、σy、τxy应力分量。这些应力分量由于薄板厚度很小而变化不大，因此可近似地认为它们与坐标z无关。5薄壁管受扭矩作用MMxyxy在工程实际中，其他的例子，如薄壁管扭转、薄壁容器承受内压、板料成形中的一些工序等，由于厚度方向的应力相对很小而可以忽略，一般均作为平面应力状态来处理。P2rtz薄壁容器承受内压61）在与某一方向轴垂直的平面上无应力，（如Z轴）0zyzxz2）各应力分量与Z轴无关，对Z轴的偏导数为零。yyxxyxij2100ij应力张量为或Z轴必为主方向平面应力状态特点：7金属塑性成形原理平面问题和轴对称问题平衡微分方程为0yxyxx0yxyxy2222)2()2(xyyxyx应力莫尔圆方程8金属塑性成形原理平面问题和轴对称问题9平面应力状态下的主切应力为：2211222)2(xyyx22232131金属塑性成形原理平面问题和轴对称问题10纯切应力状态属平面应力状态的特殊情况，此时，由平面应力状态下的应力莫尔圆方程式可得纯切应力状态下的应力莫尔圆方程。τ1—纯切应力21222xy薄壁管受扭矩作用MMxyxy11比较主应力状态下莫尔圆应力莫尔圆方程2212221)2()2(21O2O22121O纯切应力状态下的应力莫尔圆方程1213121若两个主应力数值上相等，但符号相反，即为纯切应力状态。0011ij纯切应力张量为1100任意坐标系主应力坐标系任意坐标系主应力坐标系14二、平面应变问题在xyz坐标系中，变形物体在某一方向不产生变形，这种变形称为平面变形或平面应变。发生变形的平面称塑性流平面。平面应变问题形状特点：可能发生在一个方向很长的棱柱形或柱形的物体上，其轴线与z轴平行，而在侧面上承受着垂直于z轴的载荷，载荷沿z轴不变。如右图。很长15例如:水上长城——黄河大堤为管束住滚滚东流的河水，北岸自孟县以下，南岸自郑州铁桥以下，除了个别河段傍依山麓外，两岸皆筑有大堤，全长达1370千米，犹如“水上长城”。16黄河大堤同万里长城、京杭大运河一样，都是我们中华民族的伟大工程。它历史悠久，远在春秋时期就已开始修筑。至秦统一六国后，以“决通川防，夷去险阻”，才使黄河大堤成为一个防洪整体。后来，历代王朝虽也多次修缮和改建，但直到中华人民共和国建立前，黄河大堤也只有4~5米高的两道土木堤坝，防洪能力极差。建国后40多年来，黄河大堤经过不断改造，加高加固，现在巨石砌成的堤坝普遍加高到8~9米。除加固了两岸的临黄堤外，还新修缮加固了南北全堤、展宽区围堤、东平湖围堤、沁河堤和河口地区防洪堤等。加上干支流防洪水库的配合，大大提高了黄河防洪的能力。1982年夏季洪峰流量达15300立方米/秒，洪水持续九昼夜，在黄河堤防的控制下，没有一处发生决口。17三峡大坝1819yvxuyx,xvyuyxxy21塑性变形时，0zyxyx0z∵∴若z方向没有变形，即w=00zwz021xwzuxz021zvywyz0yzxzz即因此，应变分量为：201、平面变形状态下的应力特点：1）由于平面变形时，物体内与Z轴垂直的平面始终不会倾斜扭曲，所以Z平面上没有切应力分量，即0yzxzZ方向必为应力主方向，σz即为主应力。212）在Z方向有阻止变形的正应力，且为σx、σy的平均值（证明见本章第五节中增量理论），即为中间应力，又是平均应力，是一个不变量。myxz)(212此时，只有三个独立的应力分量σx、σy、τxy3）所有应力分量沿Z轴均匀分布，即与Z轴无关，对Z轴的偏导数为零。2220000002121ij0000200022121200020002212121结论：平面变形状态相当于纯剪切叠加一个应力球张量。即应力状态为：纯剪+应力球量偏张量：纯剪切球张量2、若以应力主轴为坐标轴，则有230τσ221321平面变形时的应力莫尔圆平面变形状态下的主切应力和最大切应力为23223max211224213123或24平面应变状态的最大切应力所在的平面与塑性流平面垂直的两个主平面交成45∘角，这是建立应变滑移线理论的重要依据。230σ3σ2σ11塑性流平面:Z面250yxyxx0yxyxy3、平衡微分方程261）所有应力分量与某一坐标轴无关.2）在与某一轴垂直的截面上，切应力为零；正应力分量为零（平面应力状态）或为另两个方向的正应力之和的一半（平面变形状态）。平面问题的共同特点27平面问题的主要区别:平面应力和平面应变问题主要区别：对于平面应力问题，沿某一方向上没有正应力，但有正应变（只有在纯剪切时，没有应力的方向才没有应变）；对于平面应变形问题，在一个方向上存在正应力，但无正应变。28什么是平面问题?什么是平面应力状态?什么是平面应变状态?29选择题1.平面变形状态相当于平面应力叠加一个应力球张量()。2.平面应变状态的最大切应力所在的平面与塑性流平面垂直的两个主平面交成45∘角()。3.纯切应力状态下，主应力特点是σ1=-σ2()。4.如果有两主应力满足σ1=-σ2,则该应力状态即为纯切应力状态()。5.对于平面应力问题，沿某一方向上没有正应力，但有正应变().306.右图黄河大堤可认为是平面应力状态()?7.纯切应力状态是平面变形状态的特例().8.对于变形状态,在Z方向有阻止变形的正应力，且为σx、σy的平均值()。319.对于平面应变形问题，在一个方向上无正应变，因此该方向没有正应力。()P2rtz薄壁容器承受内压10.下图工程实际中，哪个可作为平面应力状态来处理。哪个可作为平面应变状态来处理()拔长32三、轴对称应力状态轴对称应力状态：当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时,则物体内各点就处于轴对称应力状态。如圆柱体镦粗，挤压、冲孔、拉拔等工艺可称为轴对称应力状态。金属塑性成形原理平面问题和轴对称问题33由于变形体为旋转体，采用圆柱坐标表示的应力张量为：zzzzzijM（ρ，θ，Z）zyxP（ρ，θ）θ34圆柱坐标系平衡微分方的一般形式为：金属塑性成形原理平面问题和轴对称问题01zz01zzzzz01zz35§旋转体§无周向外力§子午面为平面，夹角不变轴对称应力状态的形状特点36轴对称应力状态的特点是：0z只有σρ、σθ、σz、τρθ等应力分量，而且σθ是主应力。①由于子午面（指通过旋转体轴线的平面，即θ面）在变形过程中始终不会扭曲，所以在θ面上没有切应力:子午面37②各应力分量与θ坐标无关，对θ的偏导数都为零。采用圆柱坐标系时，轴对称应力状态的应力张量为轴对称应力状态的平衡微分方程为：金属塑性成形原理平面问题和轴对称问题zzzij00000zz0zzzz381、圆柱坐标系表示的一般空间问题的几何方程uwzvz121wzuz21zwzuvv1211uv392轴对称状态的几何方程uzwzuwzuz21金属塑性成形原理平面问题和轴对称问题40某些特殊轴对称问题（如均匀变形时单向拉伸，锥孔模挤压，拉拔等），这时径向位移u与径向坐标ρ存在线形关系，以保证变形连续性。KuKu即根据几何方程Kuuu可得41在这种情况下，径向和周向的正应力分量必相等，（证明见本章第五节中增量理论）.即平面应力、平面应变和轴对称的应力状态有何特点？它们对物体的几何形状与受力条件有何要求？平面应力状态的应变状态是两向的吗？平面应变的应力状态也是两向的吗？4343qqqqqqqqqij00000ij作业：已知下列应力分量，（1）试求主应力，(2)并指出应力状态的特点，（3）画出主应力图、主应变图（4）画出应力莫尔圆。214444解：将各应力分量代入应力张量不变量公式（3-14），可解得qqqqqqqqqij00000ijqqqqJzyx3)(10)()(2222222qqqqqqqqqJzxyzxyxzzyyx0)(222222223qqqqqqqqqqqqJxyzzxyyzxzxyzxyzyx已知下列应力分量，（1）试求主应力，(2)并指出应力状态的特点，（3）画出主应力图、主应变图（4）画出应力莫尔圆。45032213JJJ将解得的J1、J2、J3代入应力状态特征方程式（3-15），得0323q0;0;3321q解得：为单向应力状态4600000ij0000)(1zyxJ222222222)0(000)(zxyzxyxzzyyxJ0)0000(02022222223xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ47032213JJJ将解得的J1、J2、J3代入应力状态特征方程式（3-15），得解得：为纯剪切应力状态02232;0;23214849轴对称变形时，子午面保持平面，位移分量与θ无关uuzz1()2zuz对于有些轴对称问题，例如均匀变形时的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔及平展砧间圆柱体镦粗等，其径向位