应用MATLAB分析控制

应用MATLAB分析控制系统的稳定性2.2传递函数输入的方法：g=tf([分子系数],[分母系数])求极点：zpk(g)计算留数：[r,p,k］=residue(num,den)阶跃响应：step(g)奈奎斯特图：nyquist(g)波特图：bode(g)根轨迹：rlocus(g)MATLAB中控制系统的数学描述与建模在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）;零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。•对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。num=[b1,b2,…,bm,bm+1]den=[a1,a2,…,an,an+1]注意：它们都是按s的降幂进行排列的。11211121......)()()(nnnnmnmmasasasabsbsbsbsRsCsGMATLAB中的传递函数描述一、连续系统的传递函数模型连续系统的传递函数如下：•零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。))...()(())...()(()(2121nmpspspszszszsKsG在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即：z=[z1,z2,…,zm]p=[p1,p2,...,pn]K=[k]函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。二、零极点增益模型K为系统增益，zi为零点，pj为极点•控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。•函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。•向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，部分分式各项的系数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。三、部分分式展开举例：传递函数描述1）》num=[12,24,0,20];den=[24622];2）借助多项式乘法函数conv来处理：》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));22642202412)(23423sssssssG)523()1()66)(2(4)(23322sssssssssG零极点增益模型：》num=[1,11,30,0];》den=[1,9,45,87,50];[z,p,k]=tf2zp(num,den)》50874593011)(23423ssssssssG)43)(43)(2)(1()5)(6()(jsjsssssssGz=0-6-5p=-3.0000+4.0000i-3.0000-4.0000i-2.0000-1.0000k=1结果表达式：部分分式展开：》num=[2,0,9,1];》den=[1,1,4,4];[r,p,k]=residue(num,den)》44192)(233ssssssG12225.0225.02)(sisiisisGp=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000k=2r=0.0000-0.2500i0.0000+0.2500i-2.0000结果表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入—输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入—输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。DuCxyBuAxx状态空间描述在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。举例：系统为一个两输入两输出系统》A=[16910;31268;47911;5121314];》B=[46;24;22;10];》C=[0021;8022];》D=zeros(2,2);xyuxx22081200012242641413125119748612310961•在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。•模型转换的函数包括：residue：传递函数模型与部分分式模型互换ss2tf：状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型模型的转换与连接一、模型的转换1）系统的零极点增益模型：》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;》[num,den]=zp2tf(z,p,k)》num=00618den=181710)5)(2)(1()3(6)(sssssG2）已知部分分式：》r=[-0.25i,0.25i,-2];》p=[2i,-2i,-1];k=2;》[num,den]=residue(r,p,k)》num=2091》den=114412225.0225.02)(sisiisisG1、并联：parallel格式：[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)•％将并联连接的传递函数进行相加。模型的连接2、串联：series格式：[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)％将串联连接的传递函数进行相乘。3、反馈：feedback格式：[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)•％可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示。sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign缺省时，默认为负，即sign=-1。总系统的输入/输出数等同于系统1。控制系统的分析方法•控制系统的稳定性分析•控制系统的时域分析•控制系统的频域分析•控制系统的根轨迹分析控制系统的稳定性分析对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面，则系统是稳定的。对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性例2.m系统模型如下所示，判断系统的稳定性11221171494528110142841163)(2345623ssssssssssG1.ii=real(条件式)用来求取满足复数实部条件的数例如real(p0)，其含义就是找出极点向量p中满足实部的值大于0的所有元素下标，并将结果返回到ii向量中去。这样如果找到了实部大于0的极点，则会将该极点的序号返回到ii下。如果最终的结果里ii的元素个数大于0，则认为找到了不稳定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的ii向量的元素个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，因而得出系统稳定的结论。2.pzmap(p,z)根据系统已知的零极点p和z绘制出系统的零极点图控制系统的时域分析一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述。响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对象的响应，控制系统常用的输入函数为单位阶跃函数和脉冲激励函数（即冲激函数）。在MATLAB的控制系统工具箱中提供了求取这两种输入下系统响应的函数。一、时域分析的一般方法求取系统单位阶跃响应：step()求取系统的冲激响应：impulse()step()函数的用法y=step(num,den,t)：其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数，t为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end等步长地产生出来。该函数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。例exp4_3.m已知系统的开环传递函数为：sssssGo4036820)(234求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。如果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统的阶跃响应曲线，可调用以下的格式：step(num,den)；step(num,den,t)；[y,x,t]=step(num,den)：此时时间向量t由系统模型的特性自动生成。控制系统的频域分析频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等系统特征。频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，记为：一、频域分析的一般方法求取系统对数频率特性图（波特图）：bode()求取系统奈奎斯特图（幅相曲线图或极坐标图）：nyquist()()()()()()()()()()()()jwoioioiXjwGjwAweXjwXwAwX其中为幅频特性为相频特性二、常用频域分析函数MATLAB基本频域分析函数外，还提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数，由这些函数可以求得系统的各种频率响应曲线和特征值。如：margin：求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅相曲线）ngrid：尼科尔斯方格图控制系统的根轨迹分析所谓根轨迹是指，当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。一般来说，这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可以对系统进行各种性能分析.一、根轨迹分析方法的概念稳定性当开环增益K从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此这个系统对所有的K值都是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则其交点的K值就是临界稳定开环增益。二、根轨迹分析函数通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数。pzmap：绘制线性系统的零极点图rlocus：求系统根轨迹。