映射，函数定义域，值域-解题办法归纳

1一种特殊的对应：映射（1）（2）（3）（4）1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。4．注意映射是有方向性的。5．符号：f：AB集合A到集合B的映射。6．讲解：象与原象定义。再举例：1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法则：乘2加1是映射2A=N+B={0,1}法则：B中的元素x除以2得的余数是映射3A=ZB=N*法则：求绝对值不是映射（A中没有象）4A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法则：f：ab=(a1)2是映射941332211304560901232221112233149123123456开平方求正弦求平方乘以22一一映射观察上面的例图（2）得出两个特点：1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）即集合B中的每一个元素都有原象。3从映射的观点定义函数（近代定义）：1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：AB这里A,B非空。2A：定义域，原象的集合B：值域，象的集合（C）其中CBf：对应法则xAyB3函数符号：y=f(x)——y是x的函数，简记f(x)函数的三要素：对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1．3)5)(3(1xxxy52xy解：不是同一函数，定义域不同2。111xxy)1)(1(2xxy解：不是同一函数，定义域不同3。xxf)(2)(xxg解：不是同一函数，值域不同4．xxf)(33)(xxF解：是同一函数5．21)52()(xxf52)(2xxf解：不是同一函数，定义域、值域都不同4关于复合函数设f(x)=2x3g(x)=x2+2则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11例：已知：f(x)=x2x+3求：f(x1)f(x+1)解：f(x1)=(x1)2x1+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+351.函数定义域的求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数tan...(,,)2yxxRxkk且余切函数cotyx,,xRxkk且反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是[,]22，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是(,)22，函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).注意，1.复合函数的定义域。如：已知函数()fx的定义域为（1，3），则函数()(1)(2)Fxfxfx的定义域。1(1,3)2(1,3)xx62.函数()fx的定义域为(,)ab,函数()gx的定义域为(,)mn,则函数[()]fgx的定义域为()(,)(,)gxabxmn，解不等式，最后结果才是3.这里最容易犯错的地方在这里：已知函数(1)fx的定义域为(1,3),求函数()fx的定义域；或者说，已知函数(1)fx的定义域为(3,4),则函数(21)fx的定义域为______?72.函数值域的求法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.（1）、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例求函数1,[1,2]yxx的值域（2）、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数225,yxxxR的值域。（3）、根判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222bay型：直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1例：y1+xx+xxmxncy型通常用判别式xmxnxmxnd.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+11例：y（x+1）1211x1x1x184、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数3456xyx值域。346456345635xyyxyyxxxy,分母不等于0,即35y5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数11xxeye，2sin11siny，2sin11cosy的值域。222110112sin11|sin|||1,1sin22sin12sin1(1cos)1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式，求出，就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy910.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数23xyx的值域2320121112202222012时，时，=00xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。