房价问题数学建模房价合理性预测

1房价问题的综合研究摘要房价问题作为全民关注的焦点问题，对于房价的诸多问题至今尚未形成统一的认识。本文对房价合理性、未来走势、应对措施以及房价变化对经济带来的影响等问题建立相应模型并求解。针对问题一，要求定量分析选取城市房价的合理性，由相关文献引入房价收入比和住房能力负担能力两个指标，然后理清房价收入比和住房负担能力与房价是否合理的界定关系，建立双指标房价合理性评价模型。利用收集到的数据，计算出一线城市北京和上海、二线城市长春和合肥、三线城市呼和浩特各阶层家庭的房价收入比和住房负担能力，对于上海，得到只有高收入户房价收入比在区间(4,6)内，以及住房负担能力高于当年的商品房销售价格，即对其房价合理，综合考虑个各阶层家庭，可得上海房价不合理的结论。对其他4个城市做相同处理，最终结论为北京，合肥，长春房价均不合理，呼和浩特仅城镇居民房价合理，推广到全国可得房价不合理的判断。针对问题二，建立基于灰色系统的房价预测模型，利用灰色关联度分析，得出各因素与房价的关联度，得到与房价关联度较大的因素。考虑到不同发达程度的城市，以上海、长春两个城市为例，对房价进行预测。首先仅利用GM(1.1)预测模型，根据历史房价数据对房价进行预测，但可能未考虑到影响因素对房价的本质性影响，故取灰色关联分析法分析得到的关联度较大的因素，作为相关数据列，将房价作为特征数据列，建立GM(1.N)模型。再利用GM(1.1)模型预测每个因素的走势，将两个模型结合起来，得到考虑影响因素下的房价预测新数据，最后与仅用GM(1.1)模型预测的房价数据做对比，从而更全面、准确地分析两所城市的房价走势，得到房价未来走势将持续上涨，且增长越来越快，发达城市房价增长速度更快的结论。针对问题三，要探讨对房价调控的合理性措施，利用问题二中利用灰色关联度求得的10个因素与房价关联度，根据其关联度的大小确定房价调控的优先权重，根据2005~2014年各个因素与房价增长率的对比，得到每个因素与房价之间的相互制约关系，再结合问题二通过灰色预测模型对未来10年房价的预测值和问题一中对房价合理性的双指标评判标准，得到对房价相应的直接调控和间接调控措施。针对问题四，定量分析房价对经济发展的影响，首先从问题二计算灰色关联度得到的相关因素中，选取商品房销售价格和房地产开发投资的加权平均代表房价指标，人均生产总值，恩格尔系数及城市居民人均可支配收入的加权平均代表经济指标，并结合问题二得到的相关系数，建立多项式拟合模型。对于收集的数据，先进行权重归一化和影响因素无量纲化的数据预处理，再将房价作为自变量，经济作为因变量，运用matlab对其进行多项式拟合，并得到拟合曲线和拟合多项式。从而可以通过拟合曲线看出房价的适度增长对经济发展有积极作用，但房价过高会阻滞经济发展，甚至产生负面影响。本文最后还对模型进行了模型评价与推广。关键词：灰色关联分析GM(1.M)模型GM(1.N)模型多项式拟合房价预测2一.问题重述1.1.问题背景房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。1.2.提出问题本文将根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据对以下四个问题建立相应模型并求解。（1）选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性进行定量分析；（2）选取我国具有代表性的几类城市对房价的未来走势进行定量分析；（3）根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施；（4）定量分析房价可能对经济发展产生的影响二.问题分析作为全民关注的焦点的房价问题，其合理性、未来走势、如何采取措施应对房价变化以及对经济带来的影响，也是全民所关注的重点，现对四个问题分析如下。2.1.问题一的分析问题一要求我们收集相关数据，选取代表性城市，定量分析选取城市房价的合理性，我们分别选取具代表性的一线城市北京和上海、二线城市长春和合肥、三线城市呼和浩特。首先根据相关文献引入房价收入比和住房能力负担能力这两个指标，房价收入比从居民收入角度衡量合理性，住房负担能力则反映了居民能够承受的最高房价，考虑了平均收入，平均支持，贷款利率等多方面因素，对房价合理性的判断具有科学性。然后理清房价收入比和住房负担能力与房价是否合理的界定关系，即房价收入比是否在区间(4,6)内，以及住房负担能力高于当年的商品房销售价格，以此建立双指标评价模型。由收集到的数据，计算出五个城市各阶层家庭的房价收入比和住房负担能力，根据给出的模型，判断对于各个阶层家庭，房价是否合理，并综合考虑各个阶层家庭，得出房价是否合理的判断。2.2.问题二的分析房价问题是一个及其复杂的、不确定的、非线性的、非动态的的灰色系统。影响房价的因素复杂、多种，为了找到与房价密切相关的因素，我们利用灰色关联度分析，得出各因素与房价的关联度，从而得到与房价关联度较大的因素。题目要求我们选取代表城市预测房价未来走势，考虑到不同发达程度的城市，为此我们选择上海作为发达城市代表，长春作为较不发达代表，对两个城市房价进行预测。首先仅利用GM(1.1)预测模型，根据历史房价数据对房价进行预3测，但可能未考虑到影响因素对房价的本质性影响，故我们取灰色关联分析法分析得到的关联度较大的因素，作为相关数据列，将房价作为特征数据列，建立GM(1.N)模型。而每个影响因素又是一个不确定性的灰色系统，所以我们用GM(1.1)模型预测每个因素的走势，将两个模型结合起来，得到一个考虑影响因素下的房价预测新数据，最后与仅用GM(1.1)模型预测的房价数据做对比，从而更全面、准确地分析两所城市的房价走势，引申到全国的房价走势。2.3.问题三的分析针对问题三，要探讨对房价调控的合理性措施，我们综合问题二利用灰色关联分析所求的各个因素与房价关联度，根据其关联度的大小确定房价调控的优先权重，其次在根据2005年-2014年各个因素与房价增长率的对比，得到每个因素与房价之间的相互制约关系，再结合第二问通过灰色预测模型对未来10年房价的预测值分析和第一问对房价合理性的双指标评判标准得到对于房价的直接调控和简洁调控措施。2.4.问题四分析问题四要求定量分析房价对经济发展的影响，首先引入问题二中灰色关联度得到的相关系数作为初始权重，并从问题二得到的相关因素中，选取商品房销售价格和房地产开发投资的加权平均代表房价指标，人均生产总值，恩格尔系数及城市居民人均可支配收入的加权平均代表经济指标，理清房价指标与经济指标的相互关系，以房价作为自变量，经济作为因变量，建立多项式拟合模型。对于收集到的数据，先进行权重归一化和影响因素无量纲化的数据预处理，再将房价作为自变量，经济作为因变量，运用matlab对其进行多项式拟合，并得到拟合曲线和拟合多项式。通过拟合曲线分析房价的变化对经济发展的影响。三.模型假设1.房价首付按30%计算。2.贷款年限为30年。3.收集到的数据都是正确可靠的。4.以商品房平均销售价格作为房价，假设全市房价相同为平均水平。5.本文仅考虑人均可支配收入、年末总人口、房屋造价、房地产开发投资额、国内生产总值、恩格尔系数、商品房销售面积、竣工房屋面积、人均储蓄存款年末余额、土地交易价格指数对房价的影响。4四.符号系统符号说明R房价收入比1S人均住房面积价格1F商品住宅平均销售价格2F城镇居民人均可支配收入iINCOME第i阶层的家庭年平均可支配收入（i=1,2,...,n）iCONSUP第i阶层的家庭年平均消费性支出（i=1,2,...,n）),,/(AP按利率和贷款年限计算得到的年金现值综合贷款利率贷款年限首付比例HA住房负担能力)(ki比较数列ix对参考数列0x在k时刻的关联系数ir数列ix对参考数列0x的关联度)(k残差)(k级比偏差iw第i个权重),...,2,1(niip无量纲化处理后，代表房价的第i个因素)2,1(iif无量纲化处理后，代表经济的第i个因素)3,2,1(in多项式拟合的n次多项式5五.模型建立与求解针对本文的四个我们都选取了北京、上海、合肥、长春、呼和浩特等典型代表城市作为不同程度的发达城市的代表，进行问题求解，进而引申到全国房价问题，下面是各个问题的建立与求解过程。5.1.问题一5.1.1.问题一模型的建立问题一要求我们判断当前房价的合理性，我们基于房价收入比和住房负担能力的视角，建立双指标评价模型，对选取的城市近几年房价的合理性进行分析。1.房价收入比房价的高低可以通过比较得到，从搜集到的房价变动情况，可看出与房价确实有所上涨，但仅此很难判断价格是否合理。因此，我们将房价与居民收入水平相互结合进行分析，则可很好地解决这个问题，这就是常用的房价收入比[1]，通俗说法就是一个家庭几年的收入可以购买起一套住房。计算方法为每户住房总价与每户家庭年总收入之比，其中每户住房总价为商品住宅销售套均面积与商品住宅平均销售价格之积，每户家庭年总收入等于城镇居民户均人口乘以城镇居民人均可支配收入。R表示房价收入比，设1F为商品品住宅平均销售价格，2F表示城镇居民人均可支配收入，1S表示人均住房面积价格，则房价收入比计算公式如下式(1)。211FFSR(1)目前在使用房价收入比这一指标评价房价合理性的研究成果中，大多都是使用中等收入家庭的房价收入比来评价整体住宅价格的合理性水平，这忽略了不同收入阶层收入之间的差异性，影响判断。因此我们在本模型中，考虑两个城市近年来不同阶层家庭的房价收入比，增加了模型的科学性。又因家庭收入不等于居民住宅负担能力，房价收入比难以全面反映房价合理性，居民可承受的房价最直接的是住房负担能力，而非家庭收入所决定的。故增加住房负担能力这一指标作为模型的约束条件判断房价的合理性。2.住房负担能力（HA）[2]住房负担能力是将不同收入阶层居民家庭年收入，扣除正常生活开支后可用于住宅消费的最大额，再将其按现行住房标准贷款条件折算成现值，得到居民可承受的最高房价。以iINCOME表示第i阶层的家庭年平均可支配收入，iCONSUP表示第i阶层的家庭年平均消费性支出，),,/(AP表示按利率和贷款年限计算得到的年现金值，表示综合贷款利率，表示贷款年限，表示首付比例。则住房负担能力HA的计算公式为：61),,/()(APCONSUPINCOMEHAii(2)其中年现金值),,/(AP可以查普通年金现值系数表得到。3.双指标评价模型的建立房价收入比按照国际惯例，目前比较通行的说法认为发展中国家在4-6倍之间为合理区间。住房负担能力作为居民可承受的最高房价，不超过住房负担能力的房价视为合理房价。设房价为根据上述的两个指标，建立模型如下：HAFR64(3)房价的合理性通过上述两个指标判断，二者判断皆通过的为合理房价。5.1.2.问题一模型的求解根据上述建立的模型，对我们选取的北京、上海、长春、合肥、乌鲁木齐5个具有代表性的城市进行房价合理性的判断。在此以上海为例，对模型求解。1.房价收入比的计算选取2010年上海低收入家庭，计算房价收入比。表1为相关数据。表12010年上海低收入家庭的相关数据上海低收入家庭相关数据人均住房面积（平方米/人）商品房销售价格(元/平方米)人均可支配收入（元）2010年16.71456414996结合表1，由公式(1)得到2010年上海低收入家庭的房价收入比为16.21914996145647.16211FFSR，可以看到房价收入比偏离合理区间较大，对于2010年上海低收入家庭而言，房价不合理。同理对各个等级收入户进行房价收入比的计算，下面只给出主要年份上海与北京各阶层家庭房价收入比，其他年份见附录。表2上海与北京主要年份各阶层家庭的房价收入比房价收入比201020132014北京上海北京上海北京上海平均水平17.7017.6391