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弹塑性力学习题第二章应力理论·应变理论2—1试用材料力学公式计算：直径为1cm的圆杆，在轴向拉力P=10KN的作用下杆横截面上的正应力σ及与横截面夹角°=30α的斜截面上的总应力αP、正应力ασ和剪应力ατ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。2—2试用材料力学公式计算：题2—2图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位MPa），并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。题2—2图题2—3图2—3求题2—3图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为MPa），并说明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。2—4已知平面问题单元体的主应力如题2—4图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为MPa。试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。题2—4图2—5*如题2—5图，刚架ABC在拐角B点处受P力，已知刚架的EJ，求B、C点的转角和位移。（E为弹性模量、J为惯性矩）2—6悬挂的等直杆在自重W的作用下如题2—6图所示。材料比重为γ，弹性模量为E，横截面积为A。试求离固定端z处一点c的应变zε与杆的总伸长lΔ。2—7*试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量E、剪切弹性模量G、泊松比v之间的关系：题2—5图题2—6图)1(2vEG+=2—8用材料力学方法试求出如题2—8图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。题2—8图2—9已知一点的应力张量为：MPa30)(750805050--=对称ijσ试求外法线n的方向余弦为：21=xn，21=yn，21=zn的微斜面上的全应力αP，正应力ασ和剪应力ατ。2—10已知物体的应力张量为：MPa110)(300803050--=对称ijσ试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力αP，正应力ασ和剪应力ατ。2—11试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，并证明当坐标变换时它们是不变量。2—12试写出下列情况的应力边界条件。题2—12图2—13设题2—13图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端C处于零应力状态。题2—13图题2—14图2—14*如题2—14图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷P作用，试确定杆体两侧外表面处应力zσ（横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽略的应力xσ、zxτ之间的关系。2—15如题2—15图所示三角形截面水坝，材料的比重为γ，水的比重为1γ，已求得其应力解为：,byaxx+=σ,ydycxyγσ-+=aydxxy--=τ，其它应力分量为零。试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。2—16*已知矩形截面高为h，宽为b的梁受弯曲时的正应力ybhMJMyz312==σ，试求当非纯弯时横截面上的剪应力公式。（利用弹塑性力学平衡微分方程）题2—15图2—17已知一点处的应力张量为：MPa00001060612=ijσ，试求该点的最大主应力及其主方向。2—18*在物体中某一点0====xyzyxτσσσ，试以yzτ和zxτ表示主应力。2—19已知应力分量为,,,0bazxyzxyzyx======τττσσσ计算主应力1σ、2σ、3σ，并求2σ的主方向。2—20证明下列等式：(1);312122IIJ+=(2);27231312133IIIIJ++=(3));(212ikikkkiiIσσσσ--=(4);212ijijSSJ=(5);2ijijSSJ=∂∂(6).2ijijSJ=∂∂σ2—21*证明等式：mikmikSSSJ313=。2—22*试证在坐标变换时，1I为一个不变量。要求：(a)以普通展开式证明；(b)用张量计算证明。2—23已知下列应力状态：MPa1138303835=ijσ，试求八面体单元的正应力8σ与剪应力8τ。2—24*一点的主应力为：,751a=σ,502a=σa503-=σ，试求八面体面上的全应力8P，正应力8σ，剪应力8τ。2—25试求各主剪应力1τ、2τ、3τ作用面上的正应力。2—26*用应力圆求下列(a)、(b)图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)图中有虚线所示的剪应力τ′时，能否应用平面应力圆求解。题2—26图2—27*试求：如(a)图所示，ABC微截面与x、y、z轴等倾斜，但,0≠xyτ,0≠yzτ,0≠zxτ试问该截面是否为八面体截面？如图(b)所示，八面体各截面上的8τ指向是否垂直棱边？题2—27图2—28设一物体的各点发生如下的位移：zcycxccwzbybxbbvzayaxaau321032103210+++=+++=+++=式中LLL210,,aaa为常数，试证各点的应变分量为常数。2—29设已知下列位移，试求指定点的应变状态。(1)22210)4(,10)203(--×=×+=yxvxu，在（0，2）点处。(2)2222210)23(,10)8(,10)156(---×-=×=×+=xyzwzyvxu，在（1，3，4）点处。2—30试证在平面问题中下式成立：yxyxεεεε′+′=+2—31已知应变张量310000042026-×----=ijε试求：（1）应变不变量；（2）主应变；（3）主应变方向；（4）八面体剪应变。2—32试说明下列应变状态是否可能存在：（式中a、b、c为常数）(1)+=00000)(222cycxycxyyxcijε(2)++++=0)(21)(21)(210)(2102222222222byazbyaxbyazyaxbyaxaxyijε(3)+=00000)(222xcycxyzcxyzyxcijε2—33*试证题2—33图所示矩形单元在纯剪应变状态时，剪应变xyγ与对角线应变oBε之间的关系为xyoBγε21=。（用弹塑性力学转轴公式来证明）题2—33图2—34设一点的应变分量为4100.1-×=xε，4100.5-×=yε，4100.1-×=zε，4100.1-×==yzxyεε，4100.3-×=zxε，试计算主应变。2—35*已知物体中一点的应变分量为4101323542410-×---=ijε试确定主应变及最大主应变的方向。2—36*某一应变状态的应变分量xyγ和yzγ=0，试证明此条件能否表示xε、yε、zε中之一为主应变？2—37已知下列应变状态是物体变形时产生的：.0),(,)(,)(22210442210442210===+++=++++=++++=yzzxzxyyxcyxxyccyxyxbbyxyxaaγγεγεε试求式中各系数之间应满足的关系式。2—38*试求对应于零应变状态（0=ijε）的位移分量。2—39*若位移分量iu和iu′所对应的应变相同，试说明这两组位移有何差别？2—40*试导出平面问题的平面应变状态（0===zyzxxγγε）的应变分量的不变量及主应变的表达式。2—41*已知如题2—41图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：;0;,===-===zxyzxyyxzEzEzγγγνγεεγε试求位移分量，式中γ为杆件单位体积重量，E、ν为材料的弹性常数。2—42如题2—42图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：,0====xyzyxγεεε,xzyθγ=yzxθγ-=。试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量u、v、w。设在原点处,0000===wvudz在xoz和yoz平面内没有转动，dx在xoy平面内没有转动。题2—41图题2—42图第三章弹性变形·塑性变形·本构方程3—1试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。(1);188τγG=(2)εσk=（设5.0=ν）3—2*试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系，由应变能公式证明G、E、ν之间的关系为：)1(21ν+=G3—3*证明：如泊松比21=ν，则EG31=，∞→λ，∞→k,0=e，并说明此时上述各弹性常数的物理意义。3—4*如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限sσ与sτ的关系。3—5试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来证明泊松比ν的上下限为：210ν。3—6*试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：GK32+=λ的关系，并验证是否与)21(3vEK-=符合。3—7已知钢材弹性常数1E=210Gpa，1v=0.3，橡皮的弹性常数2E=5MPa，2v=0.47，试比较它们的体积弹性常数（设K1为钢材，K2为橡皮的体积弹性模量）。3—8有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（0,0,0321=≠≠σσσ），其主应变为41107.1-×=ε，42104.0-×=ε。已知ν=0.3，试求主应变3ε。3—9如题4—9图示尺寸为1×1×1cm的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。设钢块不变形，试求：在压力P=6KN的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应变，铝的弹性常数E=70Gpa，ν=0.33。3—10*直径D=40mm的铝圆柱体，无间隙地放入厚度为δ=2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数E1=70GPa，1ν=0.35，钢的E=210GPa，试求筒内一点处的周向应力。题3—9图题3—10图3—11将橡皮方块放入相同容积的铁盒内，上面盖以铁盖并承受均匀压力p，如题3—11图示，设铁盒与铁盖为刚体，橡皮与铁之间不计摩擦，试求铁盒内侧面所受到橡皮块的压力q，以及像皮块的体积应变。若将橡皮块换块刚体或不可压缩体时，其体积应变又各为多少？3—12已知畸变能ijijodeSU21=，求证εσ21=odU。3—13*已知截面为A，体积为V的等直杆，受到轴向力的拉伸，试求此杆的总应变能U及体变能UV与畸变能Ud，并求其比值：,UUKVV=UUKdd=随泊松比ν的变化。3—14试由应变能公式根据纯剪应力状态，证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，且剪切弹性模量0G。3—15*各向同性体承受单向拉伸（,01σ032==σσ），试确定只产生剪应变的截面位置。3—16给定单向拉伸曲线如题3—16图所示，sε、E、E′均为已知，当知道B点的应变为ε时，试求该点的塑性应变。3—17给定下列的主应力，试由Prandtl-Reuss，Levy-Mises理论求：PPP321d:d:dεεε和321d:d:dεεε。由Ильющин理论求PPP321::εεε。(a),31σσ=σσ=2，σσ-=3。(b),21σσ=σσ=2，03=σ。3—18*已知一长封闭圆筒，平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p的作用，而产生塑性变形，材料是各向同性的，如忽略弹性应变，试求周向、径向和轴向应变增量之比。3—19已知薄壁圆筒承受轴向拉应力2szσσ=及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈服时剪应力θτz应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值：PzPzPPrθθγεεεd:d:d:d。题3—11图题3—16图3—20薄壁圆筒，平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，设0=rσ，且材料是不可压缩的，21=ν，讨论下列三种情形：（1）管的两端是自由的；（2）管的两端是固定的；（3）管的两端是封闭的。分别对Mises和Tresca两种屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服。已知材料单向拉伸试验sσ值。3—21*按题3—20所述，如已知纯剪试验sτ值，又如何？3—22给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：（1）如sτ已知，受内压作用的封闭薄壁圆筒。设内压为q，平均半径为r，壁厚为t。材料为理想弹塑性。（2）如sσ已知，受拉力p和弯矩M作用的杆。杆为矩形截面，面积b×h。材料为理想弹塑性。3—23设材料为理想弹塑性，21=ν，当材料加载进入塑性状态，试给出筒单拉伸时的Prandtl-Reuss增量理论与全量理论