球的内切和外接问题课件

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法27变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.43A1AC1CO1、求正方体的外接球的有关问题例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.2、求长方体的外接球的有关问题例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的表面积为.1414变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.16202432C二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个。一、球体的体积与表面积343VR球①24SR球面②多面体的外接球多面体的内切球棱切：一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。图3图4图5中截面设棱长为1214=SR甲球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O例1甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3B.C.D.1:2:31:8:27331:4:9球与棱柱的组合体问题ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径。224=2SR乙.球内切于正方体的棱设棱长为1ABCDD1C1A1OB1A1AC1CO对角面223R球的内接正方体的对角线等于球直径。234=3SR丙球外接于正方体设棱长为1ACBPO二、构造法1、构造正方体例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是39变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，则球O的体积等于3,BCABDABCABABCDA，平面DACBO图429ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径例5、求棱长为a的正四面体P–ABC的外接球的表面积。变式题：1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D.234336A2、在等腰梯形ABCD中，E为AB的中点，将分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（），060,22DABDCABBECADE与2734.A26.B86.C246.DABEDCDCEP图3C2、构造长方体已知点A、B、C、D在同一个球面上，，则B、C两点间的球面距离是.BBCDA平面BCDC6,AC=213,AD=8ABACBDO图534三、确定球心位置法在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为()12125.A9125.B6125.C3125.DCAODB图4Ｃ四、公式法一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为89解：设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径小结本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.263,1,2936,384xxxhh．21r23d.34,122球VdrR222drR思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．五、构造直角三角形例13、求棱长为1的正四面体外接球的体积．.86463434,463332,32311,33,,3322212121111RVRRRAOORtAOSASOrABCrAORSOOABCDSSO球，解得中，由勾股定理得，在从而识得，中，用解直角三角形知则在上，设外接球半径为在的高，外接球的球心是正四面体解：设六、寻求轴截面圆半径法正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为.2CDABSO1图3解设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为O，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得又，∴球心O必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由是外接圆的半径，也是外接球的半径.故1OABCDOO平面11SOASCASC12..,2,2222ACRtACASCACSCSAACSCSA为斜边的是以得34球VABCDSO平面12几何体的内切球正四面体的棱长为a，则其内切球和外接球的半径是多少？图1解：如图1所示，设点o是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点o也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．正四面体的表面积正四面体的体积在中，即，得得223434aaS表22221234331BEABaAEaVBCDA322212233123aaaaBCDAVrS表31aaaSVrBCDA12631223323表BEORt222EOBEBO22233raRaR46rR3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为(h为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。4h43hOBERt(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心．(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”．(3)正四面体内切球半径是高的，外接球半径是高的.(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．31内切表多RSV4143球的旋转定义：1.半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面。2.半圆面以它的直径所在的直线为轴旋转所成的几何体叫做球体。(球是旋转体)3.注意：球面和球体的区别：球面仅仅是指球的表面，而球体不仅包括球的表面，而且还包括球面所围成的几何空间。球心球的半径球的直径球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心A2、球心和截面圆心的连线垂直于截面OABCD1OdrR22dRr3、球心到截面的距离与球的半径R及截面的半径的关系：性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心精品课件！精品课件！球的内切、外接问题5、体积分割是求内切球半径的通用做法。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。