外接球问题

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7.2.2外接球问题河北大城一中李爽第七章立体几何初步第二节(第2课时)外接球问题情境导入:DBCAD1B1A1C1ODBCAOPBCAOa23二、讲授新课:1.正方体、长方体及正六棱柱的外接球(1)正方体的棱长为a,其体对角线即为外接球的直径。所以,其外接球半径R=a3对角面DBCAD1B1A1C1OCAA1C1O例1、棱长为2的正方体,求其外接球的表面积。,3,23RaR解:由.1242RS所以DBCAD1B1A1C1O2222cbaR(2)长方体的长、宽、高分别为,其外接球半径cba,,abc2R例2、长方体的长、宽、高分别为3、2、1,其外接球的表面积.,.14414123422222RSR,所以解:由公式得2R321(3)正六棱柱底边长为,24,,22ahRha高为haa2OR例3.正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底边边长为6时,高为.32,1244222haRh所以解:由公式得,haa2OR2.补体法(1)三条侧棱(或三个侧面)两两垂直时,若棱长都相等则补成正方体,若棱长不都相等则补成长方体。.PCBACpBA.93S其外接球的表面积,体,正方体的棱长为解:将三棱锥补成正方.3其外接球表面积=。例4、若三棱锥P-ABC三个侧面两两垂直,且侧棱长均为PCBA3CpBA3,aal22正方体的边长(2)正四面体补成正方体,正四面体棱长为.DCBACBADDCBA2CBAD2解:将正四面体补成正方体,正方体的边长为1,其体对角线为.323,3,表面积为外接球的半径为球的表面积同一个球面上,其外接,四个顶点都在都为若正四面体的所有棱长例2.5(3)三棱锥的对棱相等补成长方体abc.CDBAabcabc.abc例6、已知三棱锥A-BCD,AB=CD=3,AC=BD=4,AD=BC=,三棱锥A-BCD的外接球的半径=。,,,cba22,8,16,9222222accbba4662222cbaR则由33442222解:以三棱锥的各棱为对角线构造长方体,长方体的体对角线是其外接球的直径,设长方体的长、宽、高分别为由题意得3.棱柱或棱锥的侧棱垂直于底面,高为h,底面外接圆半径为r,则棱柱或棱锥的外接球半径22)2(hrR(1)若底面为直角三角形,斜边;(2)若底面为等边三角形,;(3)若底面是任意三角形,根据;21rar33rCcBbAa2sinsinsin例7、三棱锥的四个顶点均在同一个球面上,为等边三角形,平面则球的体积为.ABCPABCPA,ABC,3,62ABPA363,62,333RhABr解:PCBA62333R6OH3PCBA623334.球心在体的高上时,底面外接圆半径为,体高为,rh.)(22RhrRPDCBAOHRRh-RrPDCBAHPDCBA62OHRRh-RrPDCBA62OH例8、正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若该正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则这个球的表面积为ABCDP6解析:正四棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心,也是底面外接圆的圆心,而球心在底面的射影恰与其重合,所以球心在体的高上,,226221,6hACrPC所以,因为.923)2()2(222SRRR,解得解:四、课下作业1、正方体各顶点都在球面上,其外接球的体积为,则正方体的表面积的为.2、长方体的三个面的面对角线分别为,则其外接球的表面积为.14,3,33、已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形,每个侧面的面积均为,则其外接球的体积为.214、在三棱锥中已知面则三棱锥外接球的表面积为.BCDAAB,90,0BCDBCD,,,cCDbBCaAB5、三棱锥中,平面平面,ABCPPABABC6,4,,PCABBCACPBPA,则三棱锥的外接球的表面积为.34

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