量子力学习题2

二.波函数与薛定谔方程1、设粒子的归一化波函数为),,(zyx，求（1）在),(dxxx范围内找到粒子的几率；（2）在),(21yy范围内找到粒子的几率；（3）在),(21xx及),(21zz范围内找到粒子的几率。2、设粒子的归一化波函数为),,(r，求：（1）在球壳),(drrr内找到粒子的几率；（2）在),(方向的立体角d内找到粒子的几率；3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）EtiixEtiixexextx)()(),(211)()(21xx（2）tEitEiexextx21)()(),(2)(21EE（3）EtiEtiexextx)()(),(34、对于一维粒子，设xpioex21)0,(，求),(tx。5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。（1）EtiikteAex)(1（2）EtiikteAex)(2从所得结果证明：)(1x表示沿x轴正方向传播的平面波。)(2x表示沿x轴反向传播的平面波。7、由下列两个定态波函数计算几率流密度（1）ikrerAr)(1；（2）ikrerAr)(2从所得结果证明)(1r表示向外传播的球面波，)(2r表示向内传播的球面波（即向原点）8、求波函数0)(2sin)(axanAxnaxax的归一化常数A。9、一粒子在一维势场00)(0uxuaxax中运动，求束缚态)0(0uE的能级所满足的方程。10、若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n，求：（1）距势阱内左壁41宽度内发现粒子的几率；（2）n取向值时，在此区域内找到粒子的几率最大？（3）当n时，这个几率的极限是多少？这个结果与经典情况比较，说明了什么问题？11、一粒子在一维势场中运动，势能对原点对称)()(xUxU，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。12、一粒子在势场221)(kxxu00xx中运动，试利用谐振子的级数解求此粒子的能量值。13、一电荷为e的谐振子受恒定的弱电场作用，电场沿正x方向，求该粒子的能量及相应的波函数。14、对于一维定态谐振子的第一激发态)(1x，求（1）振子几率最大的位置；（2）经典振幅A。15、设)()(xaAxx，其中ax0，求归一化常数A，并问在何处找到粒子的几率最大？16、若粒子只在一维空间中运动，它的状态可用波函数EthiexaAtxsin0),(axxax,00来描述，式中E和a分别为确定的常数，而A是任意常数，求：（1）归一化的波函数；（2）几率密度（即几率分布函数）),(txw；（3）在何处找到粒子的几率最大？（4）2,xx的值。17、一维运动的粒子处在0)(xAxex00xx的状态，其中0x，求（1）归一化的函数；（2）几率分布函数)(xw；（3）在何处找到粒子的几率最大？（4）2,xx的值。010,!:aandxexnaxn提示18、一维运动的粒子处在2221)(xAex的状态，其0求：（1）归一化波函数；（2）几率分布函数)(xw；（3）在何处找到粒子的几率最大？（4）2,xx的值。aandxexnnaxn1202)12(531:2提示19、试一般证明：对于任何势垒，关系式R+D=1自动满足，其中R为反射系数，D为透射系数。20、当无外场时，在金属中的电子的势能可以近似视为00)(uxu00xx)()(在金属外在金属内求电子在均匀外电场作用下，穿过金属表面的透射系数。