初升高自主招生——组合数学&初等数论(答案)

初升高自主招生——组合数学&初等数论（含答案）【涉及知识点、思想、方法等】一、组合数学1、计数原理（1）加法原理、乘法原理（2）排列与组合意义、表示、计算注意：不需要掌握含字母的组合恒等式等，只需会用排列组合进行计数（3）特殊优先法、分类法、排除法（4）枚举法、分析法（先无序再有序）、容斥原理（5）捆绑法、插空法（6）缩倍法（无序化）、平均分配（7）隔板法及应用（8）其他2、二项式定理（1）乘法公式、利用杨辉三角形展开（2）赋值法3、概率、统计（众数、加权平均数、极差等）二、初等数论1、数的整除2、奇数和偶数的常用性质3、质数和合数的常用性质4、算数基本定理5、最大公约数、最小公倍数6、同余的概念与性质7、完全平方数8、不定方程（1）因式分解法（2）整数离析法（3）配方估值法（4）放缩限制法（5）奇偶判断法（6）余数检验法【题型一】统计1、有11名同学参加比赛，成绩各不相同，录取前5名，小可知道了自己成绩，他要判断自己能否被录取，那他仅需要知道9名同学成绩的().A．众数B．中位数C．平均数D．极差【参考答案】B2、11个正整数的平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，那么这些数中最大整数的最大值是.【参考答案】353、已知2,1,5,8,7abcde的平均数为m，那么,,,,abcde的平均数为()A、1mB、1mC、5mD、5m【参考答案】B4、某班一次测验成绩（10分制）如下：10分4人，9分7人，8分14人，7分18人，6分5人，5分2人,则本次测验的中位数是_______。【参考答案】7.55、已知一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，这样x的有()A、1个B、2个C、3个D、4个以上（含4个）【参考答案】C6、某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出100条鱼，做上标记后全部放回鱼塘，过些时候捕捞出90条鱼，发现其中有4条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼约有________条。【参考答案】2250【题型二】排列组合（1）1、有四种不同款式的服装，和三个服装加工厂，（1）每款服装选择一个加工厂进行加工，共有多少种不同选法？（2）每个加工厂款选择一款服装进行加工，共有多少种不同选法？【参考答案】43、34（此题表述有歧义）2、用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数（首位不能是0）（1）无条件（2）能被2整除（3）能被3整除（4）能被5整除（5）能被9整除（6）千位和十位是奇数，且百位和个位是偶数（7）能被5整除的偶数（8）能被5整除或能被2整除（9）用1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，共有多少个？求出这些数的个位数字之和，以及所有这些数字之和？比2314大的数共有多少个？【参考答案】（列式不唯一：主要是分类法）（1）-（7）13312413312132235554443354433335+2+4+2PPPPPPPPPPPPPPPP、、、、、、（8）可用容斥原理（第2问答案+第4问答案-第7问答案）（9）44551+2+3+4+5895PP、（）、3、甲乙丙等7人站成一排（1）无限制（2）甲不在正中间（3）甲不在排头，且乙不在排尾（4）甲乙丙三人，任意两人不相邻（5）甲乙之间恰好一人（6）甲乙相邻，但都与丙不相邻（7）甲在乙左，乙在丙左，但位置任意（8）7人围成一个圈（9）甲乙丙丁四人出国，每人都只去英法美三个国家之一（10）甲乙丙丁四人出国，每人都只去英法美三个国家之一，且每个国家都至少去了一人（11）甲乙丙三人每人制作一张新年贺卡进行交换，且每人都没拿到自己的那张（12）甲乙丙三人玩传球游戏，从甲开始，共传了五次，最后又回到甲的手中【参考答案】（列式不唯一：容斥原理、捆绑法、插空法、缩倍法、枚举法等都有涉及）777167653412542242377766765545254524333232107PPPPPPPPPPPPPPPPCPP、、、、、、、、、、、4、12本不同的书分给甲乙丙3人（1）每人4本（2）分3堆（组），每份4本（3）分3堆（组），每份分别是3本、4本、5本（4）甲3本，乙4本，丙5本（5）一人3本，一人4本，一人5本（6）分3堆（组），每份分别是3本、3本、6本（7）甲3本，乙3本，丙6本（8）一人3本，一人3本，一人6本【参考答案】（列式不唯一：主要是平均分组）444336336444345345345333631284129612961284129512951295312963422422CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCPCCCPPPP、、、、、、、5、（1）方程10xyz有多少组正整数解？多少组自然数解？（2）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？【参考答案】（主要是隔板法）2269129CCC、、【题型三】排列组合（2）1、在前1000个正整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了__________个【参考答案】3012、从1,2,3......10中，任意抽取2个不同的数，其和大于10【参考答案】253、从1,2,3......10中，任意抽取3个不同的数，其和能被3整除【参考答案】424、有10个点将圆周十等分．（1）以这10个点为端点，共可作多少条弦？（2）以这10个点为顶点，共可作多少个三角形？（3）以这10个点为顶点，共可作多少个直角三角形？【参考答案】45、120、405、课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种不同的选法？（1）只有一名女生（2）两队长当选（3）至少一名队长当选（4）至多有两名女生当选（5）既要有队长，又要有女生当选【参考答案】（列式不唯一：主要是分类法）4444444133441452341322314128412848511111111588588474747444++++++++CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCP、、、、、、【题型四】综合题、概率1、9名同学分别投票给“杨坤组”与“那英组”，最终“杨坤组”5票，“那英组”4票，问“杨坤组”的票数始终压过“那英组”的概率为____________.【参考答案】9142（用枚举法或杨辉三角形模型）2、已知甲袋有5张分别标示1～5的号码牌，乙袋有6张分别标示6～11的号码牌，小明分别从甲,乙两袋中各抽出一张号码牌，若同一袋中每张号码牌被抽出的机会相等，则他抽出两张号码牌，其数字乘积为3的倍数的概率为.【参考答案】7153、一台电脑打印机在纸上打下一行字符，其中有一些字符数字是7，有一些字符是乘号x，字符共计2012个.第一个和最后一个字符都是7，没有两个连续的x，没有三个连续的7.如果认为这一行字符是一个算式，那么，有多少个正整数有可能成为这样的算式的计算结果？在所有可能的计算结果中，最小值是什么？请指出该最小值并说明理由.【参考答案】336、10067114、【田忌赛马】齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐田忌上马齐王中马田忌中马齐王下马田忌下马齐王上马田忌上马齐王上马田忌中马齐王中马田忌下马齐王下马图1图2王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马.田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；田忌能赢得比赛的概率是___________.【参考答案】16【题型五】二项式1、2428316432564612872568122222222xxxxxxxxx512910241022xx的展开式按x的幂指数从大到小排列，则2012x是第______项，它的系数是________________。【参考答案】36、642、360的正因数有________个，所有正因数的和是________【参考答案】24、11703、已知22106)21(xaxaax…66xa，求（1）21aa…6a______,（2）______||||||||6210aaaa（3）__________6420aaaa【参考答案】0、63、63+124、请观察“杨辉三角形”图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的书应是（）58A、70B、84C、126D、146411331121111【参考答案】B【题型六】其他1、平面上有个点，其中任意三个点都是直角三角形的顶点，则的最大值为____________。【参考答案】42、用统一规格正多边形瓷砖铺设地面（墙角和墙边可以另作处理），只有正边形瓷砖可以铺满地面且中间不留下空缺（写上所有可能的正多边形边数）。【参考答案】三四六3、如图为25个小正方形组成的55的棋盘，其中含有符号“#”的各种正方形有________个。【参考答案】194、如图加法中的,,ABC和D是全不相同的数字，则共有种可能.【参考答案】325、在一个8×8的正方形方格纸中，一个角剪去一个2×2的小正方形，问其余部分可否剪成15块“L”型(如图)纸片，若能剪，给出剪切方法，若不能剪，请说明理由。【参考答案】不能6、有红、白、绿、兰4种颜色的袜子各100只，在黑暗中至少要摸出_______只袜子，nn才能保证摸出的袜子至少有18双（每两只同色袜子叫做一双）。【参考答案】39【参考答案】略7、是否存在m个不全相等的正数12(7)maaam，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值，若不存在，说明理由.【参考答案】存在，62mnn【题型七】十进制、数的整除、奇数与偶数1、在数A的右端再加上一个数字6，则该数比原数增加2004，那么A=________。【参考答案】2222、已知76abcefgefgabc，其中每个字母代表一个十进制数码，则数abcefg为.【参考答案】4615383、求证：不存在这样的正整数，把它的首位数字移到末位之后，得到的数是原来数的两倍。【参考答案】略【参考答案】2、64、n为正整数，SnS，321为一个由同一数字组成的三位数，求n的值。【参考答案】665、将书2,6,10,14,,2006,2010之间的逗号去掉，紧凑的排列在一起得到一个“数”:26102010M,则M除以9的余数为.【参考答案】7【参考答案】略6、【参考答案】2【题型八】质数和合数、分解质因数【参考答案】11、2、13【参考答案】31、若一司机开车的平均速度是每小时55公里，行程开始时里程计上显示abc公里，行程结束时里程计上显示cba公里，其中abc，cba均是三位数，假设行驶时间为整数，且1,7aabc.则222abc.【参考答案】372、定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，72r且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一周，若动圆B开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r共有______个可能的值.【参考答案】113、【参考答案】287或143【参考答案】略4、【参考答案】略【题型九】最大公约数、最小公倍数、完全平方数1、【参考答案】142【参考答案】略2、一个完全平方数n的最后2kk位数字是相同的非零数字a，问：（1）a为哪个数字？（2）k最大为多少？（3）当k最大时，写出最小的具有这样性质的数（不必证明）。【参考答案】4、3、14443、已知42mmy，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）（1）求cba、、的值；（2）对cba、、进行如下操作