初升高自主招生研讨——平面几何&三角

第1页/共17页初升高自主招生研讨——平面几何&三角【涉及知识点、思想、方法等】1、三角比（1）18°系列（通过“黄金三角形”相似求得）；（2）15°系列（通过延长直角边，构造两倍角求得）；（3）钝角的三角比（只需知道数值，但无需引入高中概念）2、三角形（1）面积公式（正弦面积公式、海伦公式）（2）正弦定理、余弦定理（3）三角形的确定性问题、S.S.A的多解问题（4）角平分线定理、三角形的四心（5）勾股定理、弦图3、多边形其他（1）平行四边形对角线长与边长的关系、三角形中线长公式（2）图形的平移、旋转、对称等思想（例如：费马点）（3）多边形4、圆（1）圆周角、圆心角、弦切角大小关系（2）圆幂定理（3）托勒密定理（4）四点共圆（找到圆心、对角互补、满足前几个定理）5、竞赛（1）梅涅劳斯定理（2）塞瓦定理6、其他（平面向量、立体几何）第2页/共17页【题型一】三角比与三角形1、在RtABC中，90C如果30A，那么sincosAB的值等于（）1A、1+32B、1+22C、14D、2、在RtABC中，各边长都扩大了2倍，那么锐角A的正弦值()A、缩小了两倍B、没有变化C、扩大了两倍D、可能扩大也可能缩小3、如果A是锐角，且sinA34，那么()A、00030AB、003045AC、004560AD、006090A4、已知sincos，那么锐角的取值范围是（）．（A）30＜＜45（B）0＜＜45（C）45＜＜60（D）0＜＜905、计算tan602sin452cos30的结果是（）A．2B．2C．1D．36、在ABC中,090C，如果3sin5A，那么B的余切cotB__________。7、如图在梯形ABCD中，ADBCP，ABCDAD，BDCD，则sinDBC=8、一个三角形的外接圆半径是3，且其三边长之比是3:4:5，则此三角形的面积为9、已知当船位于处A时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援．10、三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为_____________2cm.11、设ABC的面积为1，D是AB边上一点，且13ADAB，若在AC边上取一点E，使得四边形DECB的面积为34，则CEEA的值为.12、有一题为“在60°角的两边截线段9ABcm，ACacm，求BC的长度”但排版时a错排为1a，1a比原a值多了1，不过计算结果恰好相同，则错拍后的1a为.13、在ABC中，1ACBC，C36°，求面积ABCS.第3页/共17页【题型二】面积相关1、在矩形ABCD中，2DCCB，点E和点F在边AB上，使得ED和FD三等分角ADC，则△DEF与矩形ABCD的面积比的值为.2、如图，在RtABC中，090,,15,20CDEABACBEBC，则四边形ACED的面积为()A、54B、75C、90D、963、在平面上有如图所示的六个圆，它们的圆心是一个边长为2的正六边形的顶点，以正六边形相邻两个顶点为圆心的圆相互外切，切点是正六边形边的中点，那么，由细实线围成的阴影区域的边界的长度是__________________；面积是________________。4、花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，其中的阴影部分用于种植花草，种植花草面积最大的是（）BCA第4页/共17页5、平面上边长为1的正方形ABCD绕其中心O旋转45°得到正方形''''ABCD，那么这两个正方形的重叠部分的面积是7、矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分AEF的面积等于（）．A.73757375...881616BCD8、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（）A．313B．33C．314D．129、如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．10、如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）310A、13B、25C、49D、ABCD第5页/共17页11、7张如图1的长为a，宽为b()ab的小长方形纸片，按图2的方式不重叠的放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则,ab满足（）A.52abB.3abC.72abD.4ab12、如图，DE、分别为ABC的底边所在直线上的两点，DBEC，过A作直线l，作//DMBA交l于M，作//ENCA交l于N，设ABM面积为1S，ACN面积为2S，则()A.12SSB.12SSC.12SSD.1S与2S的大小与过点A的直线位置有关13、已知ABC是正三角形，点M是边AB上一动点，MP垂直AC于点P，MQ垂BC于点Q，连接PQ，如果PQ长度的最小值是6，求CPQ的面积的最大值。14、ABC为等边三角形，P从A到B用时1秒，Q从B到C用时2秒，R从C到A用时3秒，在1秒时间内，________时，PQR的面积最小.图2图1baDBCAEDNMCBA第6页/共17页15、在梯形ABCD中，EF不平行于DC，且EP=PQ=QF，求证：CDEACECDFBDFSSSS△△△△【题型三】常规题（1）1、如图，在矩形ABCD中，2AE=BE，将ECBEADECBEDECABE，求翻折，、分别沿、15''____.2、如图，在ABC中，ABACCDBFBDCE，，，用含A的式子表示EDF，应为EDF=_____________.3、如图，ABC中，已知,ABACDEF是ABC的内接正三角形，,,BDFCEDAFE,则用,表示的关系式是_________。D'A'ABCDFEPQQPEFDCBAD'A'EADCBFEDCBA第7页/共17页4、如右图中，ABCD是边长为1的正方形，四边形IJGH和EBCF是全等的矩形，则BE.5、一个等腰梯形上底等于腰长，下底等于腰长的两倍，那么较小的内角大小为_________.6、如图，////,1,2,4ADBECFABADBECF则BC=________。7、已知等腰梯形的中位线长为12，一条对角线分中位线所成的两条线段之比是2∶1，则梯形的两底长分别为()A、8，16B、10，14C、6，18D、4，208、如右图，正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形。如果小正三角形的面积（阴影部分）为253，那么大的正三角形的周长为()A、60B、100C、603D、1003【题型四】常规题（2）1、如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝26，那么AC的长等于()（A）12（B）16（C）43（D）82JIGHFEDBCA第8页/共17页FEDBCA2、如图，四边形ABCD中，ADC和ABC都是直角，DE垂直于AB，AD边与CD边长度相等。已知四边形ABCD的面积为16，那么线段DE的长度是_______。3、如图正方形ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，若图中三角形①的周长为7，则②③④三个三角形周长之和为.4、如图正方形ABCD的边长为3，,,,EFGH分别是,,,ABBCCDDA四边上的点，若AEBFCGDHx，现沿,EGFH将正方形剪开，按图所示重新拼接成一个新的正方形，该正方形中间空出部分的面积恰好为1，则x=5、△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，线段DE⊥AB，D在线段AB上，且△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，那么线段BD长为__________________。6、若三角形的三个内角A、B、C的关系满足3,2ABCB,那么这个三角形是()A、钝角三角形B、直角三角形C、等边三角形D、非等边的锐角三角形7、点P是矩形ABCD内一点，如果3,4,5PAPBPC，则PD的长度是()A、72B、52C、23D、328、右图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形，根据图中标示的各点位置，判断ACD△与下列哪一个正方形全等？（）ABCEFO第9页/共17页A.△ACFB.△ADEC.△ABCD.△BCF9、在ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，如果延长BE交AC于F，那么:AFFC______。10、在ABC中，10AB，16AC，BAC的角平分线为AN，BN和AN垂直，垂足为N，M为BC的中点，则MN=______________.11、如图，ABC是等边三角形，点,DE分别在边,BCAC上，且11,,33BDBCCEACBEAD、相交于点F，联结DE，则下列结论：（1）60AFE；（2）DEAC；（3）2CEDFDA；（4）AFBEAEAC，正确的结论有（）4A、个3B、个2C、个1D、个12、如图，//,DEBCM是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，若:45ADEDBCESS四边形：，则:DNAD等于（）1:2A、B、1:3C、1:4D、1：513、正方形ABCD中有一点E，使E到ABC、、的距离之和最小为2+6，求此正方形的边长.14、设030,xoyA是射线Ox上一点，2,OAD为射线Oy上一点，3,ODC是射线Ox上任意一点，B是射线Oy上任意一点，则折线ABCD的长ABBCCD的最小值是_________。15、一张长、宽分别是2.5米、1.5米的矩形台球桌面，水平放置，其四角分别有一个球窝，在一角位置有一个小球，用杆向桌面内击之，打击方向与台球桌面成45o角，小球在桌面上直线滚动并经边沿多次撞击（入射角等于反射角）后落入某一球窝，则小球共与桌沿撞击的次数为（）A．4B．6C．8D．12第10页/共17页【题型五】几何综合1、在ABC中，BF和CE分别是ABC和ACB的平分线，O是内心（角平分线的交点），满足OEOF，求证ABC是等腰三角形或60A.2、如图，在ABC中，ACBC，CD是AB边上的高线，且有23CDAB，又E，F为CD的三等分点，求证：180ACBAEBAFB.3、如图，边长为a的菱形ABCD中，060A，过C任作直线分别交AB、AD的延长线于E、F，连接DE、BF交于M，若BEM和DFM外接圆的半径分别是12,RR，求证：12RR为定值，并求这个定值。4、如图，ABCD、ADCE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：2MNPQPN.BACMNPEFQDG第11页/共17页【题型六】函数相关1、在直角坐标系平面中，点1,23，6,53，8,3是一个正六边形的六个顶点中的某三个，则此六边形的边长是________________。2、在平面直角坐标系中，已知点(4,2)E，(2,2)F，以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点'E的坐标是.3、如图在矩形ABCD中，4,6ABBC，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q，BPx，CQy，那么yx与之间的函数图像大致是（）4、在,,90bACaABAABCRt，中，在AC上有一点E，在BC上有一点F，xAEEFBE,，,ySEFC求xy与的函数关系。5、如图，已知ABC中，AB＝a，点D在AB边上移动（点D不与A、B重合），DEBC，交AC于E，连结CD．