高二数学二项式定理(答案)

1/4二项式定理【考纲要求】1、能用计数原理证明二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【基础知识】1、二项式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(二项式的展开式有1n项，而不是n项。2、二项式通项公式：rrnrnrbaCT1（0,1,2,,rn）（1）它表示的是二项式的展开式的第1r项，而不是第r项（2）其中rnC叫二项式展开式第1r项的二项式系数，而二项式展开式第1r项的系数是字母幂前的常数。（3）注意0,1,2,,rn3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即mnC=mnnC（2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。（3）所有二项式系数的和等于2n，即nnnnnnnnnnCCCCCC212210奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即15314202nnnnnnnCCCCCC4.二项展开式的系数0123,,,,naaaaa的性质：对于2012()nnfxaaxaxax0123(1)naaaaaf，0123(1)(1)nnaaaaaf5、证明组合恒等式常用赋值法。【例题精讲】例1若,,......)21(2004200422102004Rxxaxaxaax求（10aa）+（20aa）+……+02004aa解：对于式子：,,......)21(2004200422102004Rxxaxaxaax令x=0，便得到：0a=1令x=1，得到2004210......aaaa=1又原式：（10aa）+（20aa）+……+（20040aa）=)......(2003)......(2004200421002004210aaaaaaaaa∴原式：（10aa）+（20aa）+……+（20040aa）=2004例2.已知二项式nxx)2(2，（n∈N*）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴110)2()2(2244CCnn，解得n=8令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1(2)展开式中第r项,第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为rnrC218,rrC28,1182rrC,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：rnrC218≤rrC28并且1182rrC≤rrC28，解得5≤r≤6；所以系数最大的项为T7=1792111x；二项式系数最大的项为T5=112061x2/4二项式定理强化训练【基础精练】1．在二项式(x2－1x)5的展开式中，含x4的项的系数是()A．－10B．10C．－5D．52．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．45B．55C．70D．803．在(1x＋51x3)n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是()A．330B．462C．682D．7924．如果3x2－2x3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．10B．6C．5D．35．在2x－y25的展开式中，系数大于－1的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项6．二项式41(1)nx的展开式中，系数最大的项是()A．第2n＋1项B．第2n＋2项C．第2n项D．第2n＋1项和第2n＋2项7．若(x2＋1x3)n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．8．（x＋2x2)5的展开式中x2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用数字作答)9．若2x－229的展开式的第7项为214，则x＝________.10．已知(x－124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5；(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.【拓展提高】1．在(3x－2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．3/4【基础精练参考答案】1.B【解析】：Tk＋1＝Ck5x2(5－k)(－x－1)k＝(－1)kCk5x10－3k(k＝0,1，…，5)，由10－3k＝4得k＝2.含x4的项为T3，其系数为C25＝10.2.C【解析】：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C152＋C25(2)2＋C35(2)3＋C45(2)4＋C55·(2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292，∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.3.B【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n－1＝1024，∴n＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C511＝C611＝462.4.C【解析】：∵Tk＋1＝Ckn(3x2)n－k·－2x3k[来源:学+科+网]＝(－1)k·Ckn3n－k·2k·x2n－5k，∴由题意知2n－5k＝0，即n＝5k2，∵n∈N*，k∈N，∴n的最小值为5.5.B【解析】：2x－y25的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于－1；第六项的系数为C5520－125＞－1，故系数大于－1的项共有4项．6.A【解析】：由二项展开式的通项公式Tk＋1＝41knC(－x)k＝(－1)k41knCxk，可知系数为(－1)k41knC，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n＋1项和第2n＋2项，又由第2n＋1项系数为(－1)2n41knC＝41knC，第2n＋2项系数为(－1)2n＋12141nnC＝－2141nnC＜0，故系数最大项为第2n＋1项．7.10【解析】：展开式中各项系数之和为S＝C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n＝32，∴n＝5.[来源:学科网]Tk＋1＝5kC52kx－(1x3)k＝5kC1023kkx－－＝5kC105kx－，∴展开式中的常数项为T3＝C25＝10.8.10253【解析】：∵Tk＋1＝Ck5x5－k·(2x2)k＝Ck5x5－3k·2k，由5－3k＝2，∴k＝1，∴x2的系数为10.令x＝1得系数和为35＝243.9.－13【解析】：由T7＝C6923x－226＝214，∴x＝－13.10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C1n(12)，C2n(12)2，且2C1n·12＝1＋C2n(12)2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，∴展开式的第k＋1项为Ck8(x)8－k(－124x)k＝(－12)kCk8·x8－k2·x－k4＝(－1)k·Ck82k·x16－3k4.(1)证明：若第k＋1项为常数项，当且仅当16－3k4＝0，即3k＝16，∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当16－3k4为整数，∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，4/4即展开式中的有理项共有三项，它们是：T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.11.【解析】设f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243.(1)∵a5＝25＝32，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－f(－1)＝243.(3)∵f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋a5)，∴a1＋a3＋a5＝2442＝122.(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)＝f(1)×f(－1)＝－243.【拓展提高参考答案】(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k－1项系数最大，于是[来源:]2222222242424202022222222202220203232,3232kkkkkkkkkkkkCC≥C≥C化简得221014310070.10163924kkkk≤≥0又k为不超过11的正整数，可得k＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T9＝C820·312·28·x12·y8.