【家教资料】高中数学必修一-第二章-基本初等函数(Ⅰ)-复习资料

第二章基本初等函数（Ⅰ）第1页共17页必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．③根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，(0)||(0)nnaaaaaa．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsrsaaaarsR②()(0,,)rsrsaaarsR③()(0,0,)rrrabababrR第二章基本初等函数（Ⅰ）第2页共17页【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y第二章基本初等函数（Ⅰ）第3页共17页〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．（2）几个重要的对数恒等式log10a，log1aa，logbaab．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么①加法：logloglog()aaaMNMN②减法：logloglogaaaMMNN③数乘：loglog()naanMMnR④logaNaN⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且第二章基本初等函数（Ⅰ）第4页共17页【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx第二章基本初等函数（Ⅰ）第5页共17页③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中,pq第二章基本初等函数（Ⅰ）第6页共17页互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)fxaxbxca②顶点式：2()()(0)fxaxhka③两根式：12()()()(0)fxaxxxxa（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()fx更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)fxaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24bacbaa．②当0a时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，2max4()4acbfxa．③二次函数2()(0)fxaxbxca当240bac时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||MxMxMMxxa．（4）二次函数2()(0)fxaxbxca在闭区间[,]pq上的最值设()fx在区间[,]pq上的最大值为M，最小值为m，令01()2xpq．（Ⅰ）当0a时（开口向上）第二章基本初等函数（Ⅰ）第7页共17页最小值①若2bpa，则()mfp②若2bpqa，则()2bmfa③若2bqa，则()mfq最大值①若02bxa，则()Mfq②02bxa，则()Mfp(Ⅱ)当0a时(开口向下)最大值①若2bpa，则()Mfp②若2bpqa，则()2bMfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0xxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0xxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa第二章基本初等函数（Ⅰ）第8页共17页③若2bqa，则()Mfq最小值①若02bxa，则()mfq②02bxa，则()mfp．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第1讲§2.1.1指数与指数幂的运算¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.¤知识要点：1.若nxa，则x叫做a的n次方根，记为na，其中n1，且nN.n次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n次方根（*1,nnN且）有如下恒等式：()nnaa；,||,nnanaan为奇数为偶数；npnmpmaa，（a0）.2.规定正数的分数指数幂：mnmnaa（0,,,1amnNn且）；11mnmnmnaaa.¤例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1）3nn（）（*1,nnN且）；（2）2()xy.解：（1）当n为奇数时，33nn（）；当n为偶数时，3|3|3nn（）.xy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0xxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfaxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2bfa0x第二章基本初等函数（Ⅰ）第9页共17页（2）2()||xyxy.当xy时，2()xyxy；当xy时，2()xyyx.【例2】已知221na，求33nnnnaaaa的值.解：332222()(1)1121122121nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa.【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)ababab；（2）3322114423()ababbaba（a＞0，b＞0）；（3）243819.解：（1）原式=2111150326236[2(6)(3)]44ababa.（2）原式=1312322123[()](/)abababba=1136322733ababab=104632733abab=ab.（3）原式=2212124444244332323[(3)]3333221111446336444(33)(3)(3)3333.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂.正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1）642642；（2）11111335572121nn.解：（1）原式=22222222(2)2222(2)=22(22)(22)=2222=4.（2）原式=3153752121315375(21)(21)nnnn=1(3153752121)2nn=1(211)2n.点评：形如AB的双