平面几何四点共圆提高训练A卷

1共圆点A卷一、选择题1、设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：(1)sinA=sinC；(2)sinA+sinC=0；(3)cosB+cosD=0；(4)cosB=cosD；其中总能成立的关系式的个数是()A、一个；B、两个；C、三个；D、四个；2、下面的四边形有外接圆的一定是()A、平行四边形；B、梯形；C、等腰梯形；D、两个角互补的四边形；3、四边形ABCD内接于圆，∠A：∠B：∠C=7：6：3，则∠D等于()A、36º；B、72º；C、144º；D、54º；4、如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AD=AC，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P，若3AB，AP=1，则BD等于()A、22；B、2；C、3；D、7；5、对于命题：①内角相等的圆内接五边形是正五边形；②内角相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论中正确的是()A、①，②都对；B、①对，②错；C、①错，②对；D、①，②都错；二、填空题6、如图2，△ABC中，∠B=60º，AC=3cm，则△ABC的外接圆半径为。7、如图3，△ABC中，∠ACB=65º，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则∠AED=,∠CED=。8、如图4，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c，则AE=，DE＝。9、如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为19892cm，P为正方形内一点，且∠OPB=45º，PA：PB＝5：14，则PB=。10、如图6，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，72CD，那么AD=。(1)HPDCBA(5)OPDCBA(3)DECBA(2)CBAD(4)ECBAE(8)HFMNGDCBA(7)FEDCBA(6)DCBA(11)PFEDCBA10987654321(10)OEDCBA(9)EDCBA2三、解答题11、如图7，在△ABC中，AD为高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：B、C、F、E四点共圆。12、如图8，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于F，AB，DC的延长线交于E，EG平分∠AED交BC于M，交AD于G，FH平分∠AFB交AB于H，交CD于N。求证：EG⊥FH。13、如图9，AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E。求证：2ACAEBDBEAB。14、如图10，O为凸五边形ABCDE内一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，求证：∠9与∠10相等或互补。15、如图11，△ABC内接于圆，P为BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。求证：D、E、F三点共线。3共圆点A卷答案一、选择题1、(B)；因ABCD为圆内接四边形，故对角互补，即∠C＝180º－∠A，且∠A，∠C均不为0º或180º，∴(1)式恒成立，(2)式恒不成立。同样由∠D＝180º－∠B得，(3)式恒成立；(4)式只有∠B＝∠D=90º时成立，故选(B)2(C)；平行四边形及梯形都不能保证对角一定互补，而两个角互补的四边形，互补的两个有未必是对角。等腰梯形对角互补，故一定有外接圆。3、(B)；如图，因四边形ABCD为圆内接四边形，故对角互补，所以∠A+∠C＝180º，又∠A∶∠C=7∶3，设∠A＝7x，∠C=3x，∴x=18º∴∠B=108º又因∠B+∠D=180º故∠D=72º4、(C)；由AB=AC=AD=BC知，B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，且由∠BAC=60º，知弧BC的度数为60º，∠BDC=30º又∠ACP=30º，∠BDC=∠ACP又∵∠CAP=13∠CAD=∠CBP，∴△BCD∽△APC∴ACAPBDBD又∵AB=AC=3，AP=1∴BD=35、(B)；命题①正确，证明如下：如图，ABCDE为圆内接五边形各内角相等。由∠A=∠B，知BCECEA，∴BCEA∴BC=EA同理可证BC=DE=AB=CD=EA∴ABCDE为正五边形命题②不正确，反例如下：如图，ABCD为圆内接矩形，∠A=∠B=∠C=∠D=90º，AB=CD，BC=DA，但ABBC，显然，ABCD满足命题②的条件，但它不是正方形。二、填空题6、3cm；根据正弦定理：2sinACRB(R为△ABC的外接圆半径)，AC=3cm，B=60º故R=3cm7、65º，25º由已知，BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BEC=∠BDC=90º，∴B、C、D、E四点共圆，又∠AED为四边形BCDE的外角，由圆内接四边形的性质知，∠AED=∠BCD=65º，又∠CEA=90º故∠DEC=25º8、,acbcba由已知，A、B、E、C四点共圆，得∠EBC=∠EAC，又AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC，∴∠BAE=∠EBC且∠E=∠E∴△ABE∽△BDE，∴ABAEBEBDBEED即aAEcbcEDHPDCBAEDCBADCBA4∴,acbcAEEDba9、42；如图，连结OA，OB，由于O为正方形的中心，得∠OAB=45º∠AOB=90º又∵∠OPB=45º∴OPAB四点共圆，∴∠AOB=∠APB=90º设PA=5x，PB=14x，在Rt△APB中，222PAPBAB又正方形的面积为19892cm，∴2AB＝1989∴22(5)(14)1989xx∴x=3则PB=14×3＝42。10、4；如图，连接AC，因AD为直径∴∠ACD=90º∴222,cosCDACADCDDAD又A、B、C、D四点共圆，∴∠B+∠D=180º∴cos∠B=－cos∠D=CDAD在△ABC中，由余弦定理得：2222cosACABBCABBCB即22222cosADCDABBCABBCD∴322(ADABBC2)20CDADABBCCD将AB=BC=1，72CD代入并整理得：3457280ADAD，即34647280ADADAD，∴4(4)(4)7(4)0ADADADAD即2(4)(4167)0ADADAD，∴AD=4(舍负)三、解答题11、证明，如图，连接E、F，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED+∠AFD=180º∴A、E、D、F四点共圆∴∠AEF=∠ADF又AD⊥BC，在Rt△ADC与Rt△CDF中∠C=∠ADF∴∠C=∠AEF，而∠AEF为四边形BCFE的外角，∴B、C、F、E四点共圆。12、证明：四边形ABCD内接于圆，∴∠ADE=∠FBE，又EG平分∠AED，∴∠AEG=∠GED在△BEM与△GED中∠EGF=180º－∠ADE－∠GED∠BME=180º－∠FBE－∠AEG∴∠EGF=∠BME。又∠EMB=∠GMF∴∠FGE=∠GMF∴△FGM为等腰三角形，又FH平分∠AFB，∴HF⊥GE13、证明：如图作EF⊥AB于F，∴∠EFB＝90ºOPDCBADCBAFEDCBAFEDCBA5又∵AB为直径，∴∠C=90º∴E、F、B、C四点共圆∴AEACAFAB(1)同理：D、A、F、E四点共圆∴BEBDBFBA(2)(1)+(2)得()ACAEBEBDABAFBF即2ACAEBEBDAB14、证明：由于对定线段的张角为定角的点的轨迹是以定线段为弦，张角为定角的两个相等的弓形弧。故由∠1＝∠2，得△OAB的外接圆与△OCB的外接圆相等。同理，△OCB的外接圆与△OCD的外接圆相等；△OCB的外接圆与△ODE的外接圆相等；△ODE的外接圆与△OAE的外接圆相等；于是，△OAB的外接圆与△OAE的外接圆相等。从而，∠9和∠10相等或互补另证，由正弦定理及已知条件得sin10sin1sin2OAOBOB＝sin3sin4sin5OCOCOD＝sin6sin7sin8ODOEOE＝sin9OA，从而sin∠10=sin∠9，故∠9与∠10相等或互补。15、证明：如图，连结DE，EC，BP，CP∵PD⊥AB于D，PE⊥BC于E∴B、D、E、P四点共圆∴∠BPD=∠BED，∠PBD=∠PEF。同理，E、C、F、P四点共圆，∴∠CEF=∠CPF，∠PCF=∠PEF。∴∠DBP=∠PCF，∴在Rt△DBP与Rt△CPF中，∠BPD=∠CPF∴∠BED=∠CEF，又BC为直线，∴D、E、F三点共线。PFEDCBA