初中几何讲义

几何讲义几何学一P3-11直线间的关系几何学溯源何以几何点、直线的关系三角形几何学研究内容、基本方法现实（物体）--基本概念1、几何（学）溯源一旧石器(200W~1w)新石器（1w+~1000）欧几里得364BC-283BC两河流域泥板文书埃及纸草古希腊毕达哥拉斯2、何以几何？….测量、规划、划分、…土地的技术。（实践性的）1感性、实践的局限性，缺乏普遍性和必然性….不宽、不紧，手心相应,制作出质量最好的车轮。这里面有规律，但我只可意会，不可言传。我不能明白地告诉我的儿子，我儿子也不能从我这里得到（做轮子的经验和方法），所以我已七十岁了，还在（独自）做车轮。古代人和他们所不能言传的东西都（一起）死去了….”2、感性本身存在谬误。（眼见为实）基本概念（点、线、面、体）公理…SSS定理推论1推论2推论N内角和定理…*平行公理定理N3、几何学研究对象、方法现实直观几何学，简称几何，是研究空间区域关系的数学分支。空间区域关系：形状、大小及物体间相互位置关系。4、现实的直观—物体—立体图形几何图形立体柱体棱柱3、4、5圆柱椎体棱锥圆锥球平面点、线、面、体4、立体图形--平面(3D-2D)1-4-12-3-24、正方形分解例题前后左右顶底点动成___线线动成___面面动成___体4、点、线、面、体点：没有大小、形状，只有位置（不可分割）的图形。运动的观点引出：线、面概念（直观的、自明性）《几何原本》中第一卷里的点、线、面、直线、平面都是有定义的；然而这些定义却用了一些未经定义的概念“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”、“同样的位置”…等等，意义模糊不清，缺乏逻辑性（1）点是没有部分的；（2）线是有长度而没有宽度的；（3）线的界限是点；（4）直线是这样的线，它对于在它上面的所有各个点都有同样的位置；（5）面有长度和宽度；（6）面的界限是线；（7）平面是这样的面，它对于其上的所有直线有同样的位置；5、点、直线关系（直线、射线、线段）ABAAAABC线段射线共线过两点有且只有一条直线。（两点确定一条直线）两点之间、线段最短AB连接接两点之间的线段的长度ABCD如图，已知：A,B,C,D四点共线,线段AD的长度为3cm，线段BC长度为1cm共有几条线段，这些线段的总长度是多少？两点间距离6、直线的关系（平面内*）6、两直线相交角、对顶角、邻补角∠2∠4∠1∠3对顶角邻补角∠1∠2180度∠3∠4180度角的定义？运动的观点？不做特殊说明，一般而言的角都小于平角（8）平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度；（9）当形成一角的两线是一直线的时候，这个角叫做平角；12345求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5之和时钟的时针一天转过多少度？6、对顶角、邻补角总结角的名称特征性质相同点不同点对顶角邻补角对顶角相等邻补角互补②有公共顶点;③没有公共边①两条直线相交形成的角；①两条直线相交而成；②有公共顶点;③有一条公共边①都是两条直线相交而成的角；③都是成对出现的②都有一个公共顶点；②两直线相交时，对顶角只有两对邻补角有四对①有无公共边6、垂线、垂线段、点到直线距离当∠BOD=90°时,直线AB、CD互相垂直。记作AB⊥CD,交点O叫做垂足。读作AB垂直于CDADCBO当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，交点叫垂足。垂线的定义•过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（同一平面内*）有且只有一条垂线的性质16、垂线、垂线段、点到直线距离过直线外一点画已知直线的垂线，以这点和垂足为端点的线段就是这点到这条直线的垂线段。垂线段的定义•注：“垂线段”和“点到直线的距离”是两个不同概念，垂线段是图形，点到直线的距离是一个长度，是一个数量，不是垂线段这个图形本身，但在求点到直线的距离时，需先做出垂线段，然后计算或度量出该垂线段的长度。20cm点到直线的距离6、垂线、垂线段、点到直线距离连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短如图5-31，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，下列哪个说法正确?（）图5-31A：BD、DC、AD分别表示点A到BC、点D到AC、AB的距离.B：DA、DE、DF分别表示点A到BC、点D到AC、AB的距离.C：DA、DE、DF的长度分别表示点A到BC，点D到AC、AB的距离.D：以上均不正确垂线性质二6、平面内三条直线关系（三线八角）两条直线（平面）相交平行重合三条直线（不考虑重合）三条直线互相平行两直线平行，与第三条相交（所截）三条直线两两相交两个交点一个交点123456781l2l3l•内错角•同位角•同旁内角不同的顶点2条被截线1条截线2个交点观察F问题：1、观察∠1与∠5的位置关系①在直线EF的同侧②在直线AB、CD的同方向ACBDE1234567815同位角：6、同位角F12345678DCABE①51②62③37同位角是F形状84④6、同位角ACBDEF12345678观察问题：2、观察∠3与∠5的位置关系①在直线AB、CD的内侧②在直线EF的两侧35内错角：6、内错角72547254内错角是Z形状6、内错角ACBDEF12345678观察问题3：观察∠4与∠5的位置关系①在直线AB、CD的内侧②在直线EF的同侧45同旁内角：同旁内角是U形状527474526、同旁内角形如字母“U”在截线同侧夹在两条被截线之间同旁内角形如字母“Z”(或反置)在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间内错角形如字母“F”(或倒置)在截线同侧在被截线同一方同位角图形结构特征位置特征角的名称6、三线八角总结识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角。12（1）同位角12（2）12（3）12（4）12（5）abc12(6)12(7)12(8)1212(9)(10)同位角同位角同位角同位角内错角同旁内角练习1下列各图中与哪些是同位角？哪些不是？1212()12（）（）12（）12练习：1、如图，（1）和是直线_____与直线____被直线______所截形成的__________。（2）和是直线_____与直线____被直线______所截形成的_________。14234321ABCD内错角BDBCADBDCDAB内错角1414141414141414232323232323232314ABCD23ABDC(1)（2）6、平行线如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线。转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交。想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？abcabcabc平行线的定义：在同一平面内，不相交（不重合）的两条直线叫做平行线。1、在同一平面内平行线有什么特征？2、不相交（不重合）我们通常用“//”表示平行。平行线的表示法：CDBA····m∥nAB∥CDmn读作：“AB平行于CD”读作：“m平行于n”●一、放二、贴三、推四、画已知直线AB和直线外一点P，过点P画一条直线和已知直线AB平行。P推平行线法AB经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理：·ABCB平面内(垂直)（存在且唯一）苏格兰数学家JohnPlayfair若平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。如图：三条直线AB、CD、EF。如果AB//EF，CD//EF，那么直线AB与CD可能相交吗？FEDCBA假设AB与CD相交，设AB与CD相交于P因为AB//EF，CD//EF于是过点P就有两条直线ABCD都与EF平行。根据平行公理，这是不可能的也就是说，AB与CD不能相交，只能平行。P平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行几何语言表达：cba∵a∥c,b∥c（已知）∴a∥b（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）1、平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线2、平行线的表示法通常用符号“//”表示平行。AB//CD或a//b3、平行线的两条性质平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理：（唯一性）推论：如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.（平行线的传递性）如果a//c,b//c;那么a//b平行线小结1）观察如图所示的长方体后填空①用符号表示下列两棱的位置关系：A1B1____ABAA1____AB,A1D1____C1D1,AD____BC2)A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，他们____平行线（填“是”或“不是”）。由此可知，只有在___________，两条不相交的直线才能叫平行线。3)在同一平面内，两条不重合的直线位置关系只有_____种，即_____________。ABCDA1B1C1D1练习：∥⊥⊥∥不是同一平面内2相交和平行1注意观察!ab．P2如何画平行线？刚才的画法中，三角板起着什么作用?∠1与∠2具有什么样的位置关系？我们能得到一个判定两直线平行的方法吗？两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行平行线的判定1（公理）简单说成：同位角相等,两直线平行何言几语(同位角相等，两直线平行)∠1=∠2，AB∥CD.FEDCBA21两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行平行线的判定方法2（定理）简单说成：内错角相等,两直线平行.何言几语(内错角相等，两直线平行)ABCDEF12∠1=∠2，AB∥CD.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.平行线的判定方法3简单说成：同旁内角互补,两直线平行.何言几语(同旁内角互补，两直线平行)ABCDEF12∠1+∠2=180°AB∥CD.abC如果a⊥c,a⊥b;那么b//c如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线互相平行.（2）、观察直线b、C是否平行？（1）画一条直线a，再画两条直线b、C分别与直线a垂直。文字叙述符号语言图形相等两直线平行∵(已知)∴a∥b相等两直线平行∵(已知)∴a∥b互补，两直线平行∵∴a∥b同位角内错角同旁内角∠1=∠2∠3=∠2∠2+∠4=180°abc12346、判定两条直线平行的方法总结如图:可以确定AB∥CE的条件是()A.∠2=∠BB.∠1=∠AC.∠3=∠BD.∠3=∠AAEBCD123C同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行平行线的判定示意图判定数量关系位置关系如图，BC、DE分别平分ABD和BDF，且1=2，请找出平行线，并说明理由。ABDFCE2134如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.DCBA213证明：∵AC平分∠DAB（已知）∴∠1＝∠3（角平分线的定义）∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠3（等量代换）∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）如图，已知∠AEC=∠C＋∠A,判断AB与CD是否平行？并说明理由.ABCDE如图BE平分∠ABC，EC平分∠BCD，∠E=90°.那么AB∥CD吗？为什么？解：∵BE平分∠ABC（已知）∴∠___=2∠1∵EC平分∠BCD（已知）∴∠____=2∠2∵∠E+∠1+∠2=180°∴∠1+∠2=___°-∠E∵∠E=90°（已知）∴∠1+∠2=__°∴∠ABC+∠BCD=2∠_+2∠_=___°∴_____（）ABCBCD180901290AB∥CD同旁内角互补，两直线平行