2018数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版

高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第1页平面几何（四点共圆）冲刺讲义________班_______号姓名________________一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1.欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线.此线称为欧拉线，且有关系：2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.①的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点②九点圆的半径是的外接圆半径的.3.三角形内心与旁心的性质：的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交于，则：①三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直；②，；③（角平分线定理）；④（“鸡爪”定理）.二、例题分析例1.是的外接圆的直径，过作圆的切线交于，连接并延长分别交、于、，求证：.高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第2页证明：过作的平行线分别交、于、，则.取中点，连接、、、.，四点共圆.，而由，有.，四点共圆.，而，，.而是的中点，是的中点，..例2.等腰梯形中，∥，，分别是，的内心，是直线上的一点，，的外接圆交的延长线于.证明：．高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第3页证明：，故共圆，则，因此，而，所以，，由此，．例3.在中，，内心为，内切圆在，边上的切点分别为，，设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆.高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第4页证明：设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记的中点为，则．设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，又所以∽，且相似比为，熟知：。又∽，所以，即是的中点进而，所以都在以为圆心的同一个圆周上．例4.设A、B为圆上两点，X为在A和B处切线的交点，在圆上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上，且CA⊥BD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点．证明：X、F、G、H四点共圆．证明：设O为圆心，AB∩XO=M．Z高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第5页∵△XOA∽△XAM，∴OX·XM=XA2=XC·XD．∴O、M、C、D四点共圆．∴∠XMO=∠OCD=∠ODC=∠OMC．∴∠CMG=∠GMD．在CM上选取一点E使MX∥DE，则MD=ME．．在GX上取点X，使∠GFD=∠DFX，在XF上取W使CF∥GW．由得CG·XD=XC·GD．由上面两式得=，故X=X．∴∠GFD=∠XFD．又∵=1和∠XPB=∠CDF1．∴H和B在CX的同一侧．设H为直线BF与△GFX外接圆的交点，则∠HXG=∠HFG=∠HFX=∠HGX．∴HG=HX，∴H=H．∴X、F、G、H四点共圆，得证．注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知为调和点列，又，可得为的平分线，设外接圆交于点，由“鸡爪”定理知，从而在的中垂线上，本题得证.例5.△ABC中，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P，O、H分别为三角形的外心与垂心．求证：AP⊥OH．高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第6页证明：由∠BMC=∠BNC=90知B、C、N、M四点共圆．∴AM·AB=AN·AC．又AE=AB,AF=AC，∴AM·AE=AN·AF，即E、F、N、M共圆．注意到由∠AMH=∠ANH=∠AEO=∠AFO=90知AH、AO分别为△AMN、△AEF外接圆的直径．过AH中点H与AO中点O分别为△AMN与△AEF的外心，且易知OH∥OH．∴只需证AP⊥OH，只需证A、O为△AMN、△AEF外接圆的等幂点即可．注意到A为两圆公共点，而由E、F、N、M共圆知PM·PN=PE·PF．故P也为等幂点．综上所述，原命题成立．例6.设△ABC内接于圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S．证明：若QR=ST，则PQ=高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第7页UT．证明：过O作OK⊥PU=K，OF⊥BU=F，连结AK延长交⊙O于另一点E，过C作CH∥PU交AE于G，交AB于H，连GF、OP、OU、OA、OE．由垂径定理知BF=FC,QK=KT，且QR=ST．∴RK=KS即K是RS的中点，且CH∥PU．∴====1HG=GC．由中位线定理知FG∥BH．∴∠FGE=∠BAE=∠BCEF、G、C、E共圆．∴∠EFC=∠EGC=∠AGH=∠UKG．∴∠EFO+∠OKE=∠OFC+∠CFE+∠OKE=90+∠UKG+∠OKE=90+90=180．∴K、O、F、E四点共圆…①又∵∠OKU+∠OFU=2×90=180，∴K、O、F、U四点共圆…②结合①②知K、O、F、E、U五点共圆，∴∠KUO=∠KEO．又∵PA为⊙O切线OA⊥PA，且OK⊥PU∠KEO=∠KAO．∴∠KPO=∠KUOOP=OU．又∵OK⊥PU，∴PK=UK．而QK=TU，∴PQ=UT，得证．高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第8页例7.AB、AC为⊙O切线，ADE为一条割线，M为DE中点，P为一动点，满足M、O、P三点共线，⊙P为以P点为圆心、PD为半径的圆．证明：C点在△BMP外接圆与⊙P的根轴上．证明：作PR⊥AC，其延长线交BC延长线于S．∵∠OMA=∠OBA=∠OCA=90，∴A、C、O、M、B五点共圆．∴∠BMP=∠BMA+90=∠BCA+90=180－∠RSC．∴B、M、P、S四点共圆．∴C对△BMP外接圆的幂为－CB·CS=－2CA·CR．而C对⊙P的幂为CP2－PD2=CP2－AP2－AD·AE=CP2－AP2+AC2=CR2+RP2－PR2－AR2+AC2=CR2－CR+CA2+CA2=－2RC·CA．∴C点对⊙P的幂等于C点到△BMP外接圆的幂．∴C点在上述两圆根轴上，得证．高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第9页例8.设H为△ABC的垂心，D、E、F为△ABC的外接圆上三点，使AD∥BE∥CF，S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点．求证：S、T、U、H四点共圆．证明：先证引理：ABC外接圆⊙O与它的九点圆⊙V关于△ABC的垂心H位似，且位似比为．引理的证明：设AH、BH、CH分别交边BC、CA、AB于O、E、F，交⊙O于D、E、F．易知HD=HD,HE=HE,HF=HF．∴△DEF与△DEF关于H位似，位似比为．∴△DEF外接圆与△DEF外接圆关于H位似，即⊙O与⊙V关于H位似，位似比为．回到原题：设BC、CA、AB中点分别为X、Y、Z，过D作DP∥BC，交⊙O于P，设PH中点为W．易知SD⊥BC，设PS交BC于X，则由SD关于BC对称知SX=XD．∴X为BC中点，即X与X重合，即P与S关于X对称．同理P与U、T分别关于Z、Y对称．∴四边形USHT与四边形ZYWX对称．由引理知Z、X、Y、W四点共圆．∴U、T、H、S四点共圆，得证．高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第10页例9.给定锐角△ABC，过A作BC的垂线，垂足为D，记△ABC的垂心为H，在△ABC的外接圆上任取一动点P，延长PH交△APD的外接圆于Q．求Q点的轨迹．解：Q点轨迹为△ABC的九点圆．如图，取AH、BH、PH的中点M、N、K，延长AD交△ABC外接圆于G．则熟知HD=DG，连接KN、MN、KD、PB、PG．因为各取中点有∠NKD=∠BPG,∠NMD=∠BAG．∴K、N、M、D四点共圆．又Q在△APD的外接圆上，∴PH·HQ=AH·HD，即2KH·HQ=2MH·HD．∴KH·HQ=MH·HD．于是有K、D、Q、M、N五点共圆．又△DMN外接圆为九点圆，所以Q在九点圆上．反之，在如上所述九点圆上任取一点Q，设QH延长线交△ABC外接圆于P，取PH中点R，同上可证R在九点圆上．高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第11页故2RH·HQ=2MH·HD，即PH·HQ=AH·HD．因此Q在△APD外接圆上．得证．例10.在△ABC中，D是BC边上的一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O是经过A、O1、O2三点的圆的圆心．求证：OD⊥BCAD恰好经过△ABC的九点圆心．证明：连AO1、BO1、AO2、CO2，作AB、AC垂直平分线交于点O．∵∠AO2C=2∠ADB=∠AO1B,AO1=BO1,AO2=CO2，∴△AO1B∽△AO2C．∴△AO1O2∽△ABC．∴∠AO1O=180－∠AO1B=180－∠AO2C=180－∠AO2O．故O在⊙O上，O是△ABC的外心，故△AOO∽△AO1B．又∠ADB=∠1,∠O1AB=∠OAO=∠OOA．∴OD⊥BC∠BAO1=∠ADO∠ADO=∠ODAA、O、O、D共圆∠AOO=180－∠ADO=∠ADB+∠ODC∠ADB=∠ODC∵∠AOO=2∠ADB如图，设OH与AD交于点K，作BC中垂线OM，交AD延长线于点M，OM与BC交于点L．由∠ADB=∠ODCDL=LMOM=2OL=AH△AKH≌△MKOOK=KHK为九点圆心AD经过△ABC的九点圆心．综上所述，命题得证．高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第12页例11.内接于,自作的切线,又以为圆心,为半径作交直线于，交直线于；则四边形的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心.以下，我们仍按情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）证明:、如图,设的平分线交于，因，则点关于直线对称，又因在上,则，因此共圆,由于为的切线，则，又由，所以，因此为的内心.、据条件知，为矩形,设角平分线交直线于，连，由(1)知,点关于直线对称，故，则为的外角平分线，因此为边外的旁心.高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第13页、设的外角平分线交直线于，由，则共圆.故共线,因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，连，因故共圆..所以共线,即是的外角平分线,因此为边外的旁心．例12.三角形中，是的中点，分别是边上的点，且△的外接圆交线段于若点满足：证明：证明：在圆中，由于弦故圆周角，因此，与分别共圆，于是设点在边上的射影分别为，则△∽△∽△，故由得，○1设△的内心为今证四点共圆：连因分别共圆，则，又由○1，，所以△∽△因此而所以因为高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第14页故得，因此四点共圆，于是延长交的外接圆于则为该外接圆的直径,于是且因此,点O是所在圆的圆心,从而为的切线.延长交于T,则∽,所以,又由∽,得,因故...②延长到,使，则为平行四边形,...③由②得.……④由③、④得∽．所以，,即.三、巩固训练1.为正三角形的边上的任意一点，设与的内心分别为，外心分别为；证明：．证明：如图，据内心性质，有，所以共圆，即点在上，而，得点也在上，即五点共圆．高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第15页圆的圆心即为的圆心；此意的平分线也是的中注即共垂线，线，因此；同理有五点共圆，圆心为，因此，且．由于，，则；又在中，；在中，；所以，于是≌．从而，由于在直角三角形中，，所以有．2.△ABC内切圆与BC切于K，AD是BC边上的高，M为AD中点，MK与△ABC内切圆交于K、N．求证：△BNC外接圆与△ABC内切圆切于N．证明：设△ABC关于∠BAC的旁切圆为⊙IA，半径为rA，△ABC内心为I，⊙I半径为r，⊙IA切BC于T，KI交⊙I于K、S，则∵==，IAT∥IS均垂直于BC，∴A、S、T共线．∵I为SK中点，M为AD中点，SK∥AD，∴T、I、M共线．∵===,IK∥IAT，∴M、K、IA三点共线．设⊙I关于点K、N切线交于Q，则QI⊥NK．设QI交NK于R，则高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第16页∵IB平分∠ABC，IAB平分∠ABC外角，∴∠IBIA=90．又∵∠