初二数学《三角形》拔高题精选

三角形［全等三角形］［基础知识］ 1．全等三角形的基本判定方法有“边角边”，“角边角”，“角角边”，“边边边”四种．特别的是，在直角三角形中可用“边边角”即“斜边，直角边”来证明全等．证明两个三角形全等的要素是证明它们满足判定方法中的三个条件．通常使用逆向思维，从结果推导到已知．2．根据全等三角形的性质，它们的对应边，对应角，对应线段（角平分线，中线，高）都对应相等．我们常用全等三角形来证明线段和角的相等，线段和角的和差倍分等问题，还可用来证明直线的垂直与平行关系．3．三角形的内心：三角形内三条角平分线交于一点，它叫做三角形的内心．三角形内心到三角形三边的距离相等．［提示］○1在某些图形中，应添加辅助线以构造全等三角形，类似代数中的“辅助代数式”．（常用方法如截长补短法（如例2），倍长中线法（如例3））○2一题一般不止一种解法，应有选择性．○3在竞赛中证明无需像平时那样严谨，有的推论可以不写．［例题］1．如图1，已知BD，CE分别是ABCD的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BPAC=，点Q在CE上，CQAB=．求证：①APAQ=；②APAQ^．分析：由图可知要证APAQ=，可利用全等三角形对应边相等这一性质，于是据观察，AP和AQ位于ACQD和PBAD中，题目已知条件已经给出两边对应相等，只需再证一角对应相等，即ACQPBA=即可．PQEDＡBC图1():,9090,90,,9090,90BDCEABCACABBECBDCABDBACACEBACABDACEBPACACQPBAABDACECQABACQPBASASAPAQCAQPBDACPCAPCAQCAPQAPAPAQD\==\+=+=\=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\==^+=\+==\^证明①分别是的边和上的高在和中≌②由①得即即.2．如图2，在ABCD中，90BAC=，ABAC=，BE平分ABC，CEBE^，求证：12CEBD=．分析：本题可按如图所示延长CE和BA并相交后得到一对全等三角形FCAD和BDAD，得到BDCF=，又得BEFBECDD≌，即可证12CEBD=．()():90,90,,,,,,,21122.BACCEBEFCAFDBAFACDABFCABDAABACFCADBAFCABDASASBDCFFEBCEBBEFBECBEBEFBECBEBEFBECASAECECEBFCFCECECAFFB=^\=-=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\==\==证明在和中≌延长与交于≌点在和中.D3．证明：在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边的一半．已知：如图3－1，在ABCD中，90ACB=，CD是中线．FDACBE图2求证：12CDAB=．分析：本题所求证的是“直角三角形斜边中线定理”，有多种证法，在这里我们介绍“倍长中线”证法．如图3－2所示作辅助线，可得一对全等三角形ADCD和BDED，紧接着证ACBEBCDD≌，就可得到对应线段的比例关系了．()():,,,,9090,,,21..2,ADBDADCBDEADCBDEDCDEADCBDESASACBEADBEACBEACBEBCACBEACBEBCCACBEBCCBBCACBEBCSASABCDEDCECDCDADBEBEìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\==\=\=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD===\\=延长到证明在和中≌得≌使连在和中点4．如图4－1，ABCD中，60A=，ACB的平分线CD和ABC的平分线BE交于点G．求证：GEGD=．分析：在题目条件中出现角平分线时，我们常从角平分线上一点向角的两边作垂线，可得到一对全等三角形，在本题中也是如此．DACB图3-1图3-2EDBCA评注：“倍长中线”是一种常用的辅助线，其目的是为了构造出全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去．图4-1GEDBAC:42,60120,601,,20,,3,2.010,AACBABCCDACBBEABCBCGCBGCGBEGDGACBGNGFGFGMGNGMAGCABGAMGANNGMNGAAGMRtEGNRtAGGGMABGNACGFBMCDG-=\+=\+=\==\==\=\\==\=+=D^^D^证明如图平分平分是平分线上一点同理是的连过平分线在和作中点()120,,.EGDNGMEGNDGMGNGMRtEGNRtDGMAASGEGDìï==ïïï=íïï=ïïî\DD\=≌5．如图5－1，（1）已知ABCD和111ABCD中，11ABAB=，11BCBC=，111100BACBAC==，求证：111ABCABCDD≌．（2）前题中，若将条件改为11ABAB=，11BCBC=，11170BACBAC==，结论是否成立？分析：本题是典型的“SSA”特例，需要构造辅助直角三角形证全等．D1B1DBCAA1C1图5-1FNMGEDBAC图4-2()()111111111111111111111111111111111:1:80,90,,,,,,.BADBADDDBACBACDDABDABDBADBADABABABDABDAASBDBDBCBCRtBDCRtBDCBBDCADBDCADBDRDtDtBCR\====\=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\=ì=ïïDDíï=ïî\D^D^作于点于点解证明在和中≌在和中≌()()()1111111111111111111,,,.2.52,.BDCHLCCBACBACABCABCCCBCBCABCABCAASABCABC\=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD-DD在和中≌结论不成立如图显然与不全等6．如图6－1，在四边形ABCD中，BCDC=，对角线AC平分DAB．AB与AD的大小满足什么条件时，180DB+=？请画图并证明你的结论．分析：本题需对两种情况进行讨论：ABAD¹和ABAD=．这里提供的解法是作点C在AB和AD上的垂线构造全等三角形．()()作于点于点解①如图所示当时证明设平分在和中≌②当且时显然证明略:62,,180.:.,,18090,180,..ABADDBABADACDABCECFBCDCRtBCERtDCFCECFRtBCERtDCFHLBCDFACDCBEABECFADADCCDFABADBDBF-¹+=\=ì=ïïDDíï=ïî\DD\=\+=+===+=^^7．如图7，已知ABCD，ADBC，AC与BD交于点O，AEBD^于点E，CFBD^于点F，那么图中全等的三角形有对．分析：在此图中全等的三角形如下：C1A(A1)B(B1)C图5-2DABC图6-1DABCEF图6-2OABDCEF图7;;;;;.AEDCFBAEOCFOADOCBOABOCDOAEBCFDADBCBDDDDDDDDDDDDD①≌②≌③≌④≌⑤≌⑥≌故应填6．8．如图8－1，在ABCD中，BAC的平分线AD交BC于点D，ACABBD=+，30C=，求B的度数．分析：按截长补短法作辅助线．():82,,,,30,,2,,.60.ADBACBADCADAEACAEDACDBADCADADADAEDACDSASECAEACAEABBEACABBDBEBDBDEEAABEAEACBCBDEDE-\=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\====+=+\==\===延长到点解如图所示平使分和连在中≌9．如图9，在ABCD中，5AB=，3AC=，则BC边上的中线AD的长l的取值范围是（）．分析：按倍长中线法作辅助线，可得一对全等三角形DECD和ABDD，然后利用三角形的三边关系即可得到l的取值范围．图8-1DABCDABCE图8-253lDCBAE图9评注：在进行全等三角形有关的计数时可参考面积计数方法，分类计数，如在此题中可按三角形的面积从小到大分类，也可按相同顶点的三角形进行分类．这样做的好处就是不会漏数．A．14lB．35lC．23lD．05l(),,:,,,5,8,42.,114,.DEADADBEDCADBEDCADEDEBDCDADBEDCSASECABAECACECAEAElADACAEECAEllAECìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\==D+\+=\\解在和中≌延长到点使得连在中有即又即选10．如图10－1，在四边形ABCD中，E是AB的中点，ADBC，设DCESaD=，则ABCDS四边形为？分析：延长CE与DA，可得一对全等三角形，至此四边形的面积问题已成功转化为了三角形的组合的面积问题．():102,,.,,,22.ABCDCGDDCEADBCAGEBCEAGEBCEAGEBCEAEGBECAEBEAGEBCEAASSSSaCEDAGDD-\=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\===四边形解如图所示在和中延与点≌长交于11．如图11，ABCD中，90C=，Aa=，以C为中心将ABCD旋转角q到11ABCD的位置（旋转过程中ABCD的形状保持不变）．B点恰好在11AB上，试用a表示角q．分析：分别表示a和q所表示的角的关系．利用三角形内角和定理，等腰三角形的性质等解题．SEADBC图10-1SGECBDA图10-2图11()()()1111111111111111:,18018018018018018090901809090902.AAACAABABCBCBBBCBBBCBABCBCBACBAaBACBACBCBCBBBaaqqaqaqaqa=====\=-+=-+=-+--=--++=+-=--=-=\=\+-=-=解又12．如图12，ABCD中，60ABC=，AD平分BAC，CE平分ACB，则AC与AECD+的大小关系为．分析：显然ACAECD=+，作辅助线AFAE=，则只需证CFCD=即可．而要想证它们相等，必须先证≌CODCOFDD．()()解分别平在上分在和中截取点得连≌使:60120,,601801806012018060,,,,.ABCBACACBADCEBACACBCADACOAOCCADACOAOECODAOCAEAFAOEAOFOAEOAFAOAOAOEAACFAOFSASAEAOFFOF=\+=\+=\=-+=-===-=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\==()在和中≌601206060,,,.AOECOFAOCAOFCOFCODCODCOFCODCOFCOCOOCDOCFCODCOFASACDCFACAFCFAECD==-=-=\=ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\=\=+=+13．如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线，那么这个三角形的形状图12是．已知：如图13，在ABCD中，AD，BE既是ABCD的两条角平分线，又是ABCD的两条高线．试判定ABCD的形状并说明理由．分析：易证≌ADBADCDD，从而有ABACBC==，故ABCD是等边三角形．()解是的角平分线和高线在和中≌同理是等边三角形:,,90,,,.ADBEABCBADCADADBADCBADCADADBADCADADADBADCADBADCASAABACABBCABBCACABCD\===ìï=ïïïDD=íïï=ïïî\DD\==\==\D14．如图14－1，在ABCD中，D，E是AB上的两点，ADEB=，则ACBC+与CDCE+的大小关系是．分析：按倍长中线法作如图14－2所示辅助线