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小学+初中+高中小学+初中+高中21.2.2公式法第1课时一元二次方程的根的判别式01教学目标掌握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理．02预习反馈一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.当Δ0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．03新课讲授类型1利用根的判别式判别一元二次方程根的情况例1不解方程，判别下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0.【解答】(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，∴原方程有两个不等的实数根．(2)原方程化为一般形式为16y2－24y＋9＝0.∵a＝16，b＝－24，c＝9，Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，∴原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为5x2－7x＋5＝0.∵a＝5，b＝－7，c＝5，Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝49－1000，∴原方程无实数根．【方法归纳】判别一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的思维过程：化成一般形式→求Δ→判断Δ0，Δ＝0，Δ＜0或Δ≥0，Δ0→根的情况．【跟踪训练1】完成下列表格．小学+初中+高中小学+初中+高中方程判别式与根)2x2＋3x－1＝02y2＋2＝4y2(x2＋1)－x＝0Δ的值Δ＝17＞0Δ＝0Δ＝－15＜0根的情况有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根类型2根据根的情况确定一元二次方程中字母的值或取值范围例2已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＋1＝0.当m为何非负整数时．(1)方程只有一个实数根？(2)方程有两个相等的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根？【思路点拨】(1)方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到m的值；(2)方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，从而求得m的值；(3)方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，从而得到m的值．【解答】(1)∵方程只有一个实数根，∴m－2＝0.解得m＝2.(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＝0.解得m＝3.(3)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＞0.解得m＜3.∵m为非负整数，且m≠2，∴m＝0或1.【方法归纳】此类问题应考虑两个方面：(1)根据判别式建立不等式或方程；(2)一元二次方程的二次项系数不等于0.【跟踪训练2】若关于x的方程kx2－3x－94＝0有实数根，则实数k的取值范围是(C)A．k＝0B．k≥－1且k≠0C．k≥－1D．k＞－1小学+初中+高中小学+初中+高中【易错提示】该方程是一次方程，即k＝0时，方程也有实数根．04巩固训练1．一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(A)A．4B．2C．0D．－42．(21.2.2第1课时习题)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是(A)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是m14．4．若关于x的方程x2－6x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是8．5．(21.2.2第1课时习题)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a＋a－2＝0.∴a＝12.代入方程，得x2＋12x－32＝0.解得x1＝1，x2＝－32.∴a的值为12，方程的另一个根为－32.(2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中，Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋40，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．05课堂小结1．本节课主要学习了哪些知识？2．本节课还有哪些疑惑？说一说！