2014年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：Vsh圆柱，其中s为圆柱的表面积，h为高．圆柱的侧面积公式：=Scl圆柱，其中c是圆柱底面的周长，l为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．（1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A，，，，{123}B，，，则AB_______．【答案】{13}，【解析】由题意得{1,3}AB．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z(i为虚数单位)，则z的实部为_______．【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i(2i)2120iz，其实部为21．（3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n的值是_______．【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n的最小整数解．220n整数解为5n，因此输出的5n．（4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______．【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cosyx与sin(2)(0)yx≤，它们的图象有一个横坐标为3的交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cossin(2)33，即21sin()32，2(1)36kk，()kZ，因为0，所以6．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．【答案】24注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．2【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.0150.025)106024．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}na中，若21a，8642aaa，则6a的值是________．【答案】4【解析】设公比为q，因为21a，则由8642aaa得6422qqa，4220qq，解得22q，所以4624aaq．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12SS，，体积分别为12VV，，若它们的侧面积相等，且1294SS，则12VV的值是_______．【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11rh、，22rh、，则112222rhrh，1221hrhr，又21122294SrSr，所以1232rr，则222111111212222222221232VrhrhrrrVrhrhrrr．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy中，直线230xy被圆22(2)(1)4xy截得的弦长为________．【答案】2555【解析】圆22(2)(1)4xy的圆心为(2,1)C，半径为2r，点C到直线230xy的距离为2222(1)33512d，所求弦长为22925522455lrd．（10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1fxxmx，若对任意[1]xmm，，都有()0fx成立，则实数m的取值范围是________．【答案】202，【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10fmmmfmmmm，解得202m．（11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy中，若曲线2byaxx(ab，为常数)过点(25)P，，且该曲线在点P处的切线与直线7230xy平行，则ab的值是________．【答案】3【解析】曲线2byaxx过点(2,5)P，则452ba①，又2'2byaxx，所以7442ba②，由①②解得11ab，所以2ab．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD中，已知，85ABAD，，32CPPDAPBP，，则ABAD的值是________．【答案】22【解析】由题意，14APADDPADAB，3344BPBCCPBCCDADAB，所以13()()44APBPADABADAB2213216ADADABAB，即1322564216ADAB，解得22ADAB．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()fx是定义在R上且周期为3的函数，当[03)x，时，21()22fxxx．若函数()yfxa在区间[34]，上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．【答案】102，3【解析】作出函数21()2,[0,3)2fxxxx的图象，可见1(0)2f，当1x时，1()2fx极大，7(3)2f，方程()0fxa在[3,4]x上有10个零点，即函数()yfx和图象与直线ya在[3,4]上有10个交点，由于函数()fx的周期为3，因此直线ya与函数21()2,[0,3)2fxxxx的应该是4个交点，则有1(0,)2a．（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC的内角满足sin2sin2sinABC，则cosC的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sin2sin2sinABC及正弦定理可得22abc，2222222()2cos22abababcCabab223222262262884abababababab，当且仅当2232ab，即23ab时等号成立，所以cosC的最小值为624．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，5sin5．（1）求sin4的值；（2）求cos26的值．解：（1）∵5sin25，，，∴225cos1sin5，210sinsincoscossin(cossin)444210．（2）∵2243sin22sincoscos2cossin55，，∴3314334cos2coscos2sinsin2666252510．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥PABC中，DEF，，分别为棱PCACAB，，的中点．已知6PAACPA，，8BC，5DF．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解：（1）∵DE，为PCAC，中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．（2）∵DE，为PCAC，中点，∴132DEPA∵EF，为ACAB，中点，∴142EFBC，∴222DEEFDF，∴90DEF°，∴DE⊥EF，∵//DEPAPAAC，，∴DEAC，∵ACEFE，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，12FF，分别是椭圆22221(0)yxabab的左、右焦点，顶点B的坐标为(0)b，，连结2BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结1FC．（1）若点C的坐标为4133，，且22BF，求椭圆的方程；（2）若1FCAB，求椭圆离心率e的值．4解：（1）∵4133C，，∴22161999ab，∵22222BFbca，∴22(2)2a，∴21b，∴椭圆方程为2212xy．（2）设焦点12(0)(0)()FcFcCxy，，，，，，∵AC，关于x轴对称，∴()Axy，，∵2BFA，，三点共线，∴bybcx，即0bxcybc①∵1FCAB，∴1ybxcc，即20xcbyc②①②联立方程组，解得2222222caxbcbcybc∴2222222acbcCbcbc，C在椭圆上，∴222222222221acbcbcbcab，化简得225ca，∴55ca,故离心率为55．（18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，4tan3BCO．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率43BCktanBCO－．又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率34ABk．设点B的坐标为(a,b)，则kBC=041703ba，kAB=60304ba，解得a=80，b=120．所以BC=22(17080)(0120)150．因此新桥BC的长是150m．（2）设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm,(0≤d≤60)．由条件知，直线BC的方程为4(170)3yx，即436800xy，由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即|3680|680355ddr．因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以80(60)80rdrd≥≥，即68038056803(60)805dddd≥≥，解得1035d≤≤．故当d=10时,68035dr最大，即圆面积最大．所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA,CB交于点F．因为tan∠BCO=43．所以sin∠FCO=45，cos∠FCO=35．因为OA=60,OC=170，所以OF=OCtan∠FCO=6803．CF=850cos3OCFCO，5从而5003AFOFOA．因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=45，又因为AB⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB==4003，从而BC=CF－BF=150．因此新桥BC的长是150m．（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=rm，OM=dm(0≤d≤60)．因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由（