鞅和鞅表示

第一节离散鞅一、离散鞅的定义及性质定义1若随机序列,2,1,0},{nXn对任意0n，有（1）||nXE（2）nnnXXXXE),,|(01则称}{nX为离散鞅序列简称为鞅首页注无后效性鞅的直观背景解释设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n年的赌本为表示在已知前n年的赌本的条件下，第n+1年的平均赌本。而鞅则表示这种赌博使第n+1年的平均赌本仍为第n年的赌本，这种赌博称为公平赌博。如果}{nX为鞅，则它有某种即当已知时刻n以及它以前的值nXX,,0，那么n+1时刻的值1nX对nXX,,0的条件期望与时刻n以前的值10,,nXX无关，并且等于nXnX),,|(01nnXXXEnXX,,0nnnXXXXE),,|(01首页定义2对任意0n，有（1）||nXE（2）简称为鞅设}{nX及}{nY，,2,1,0n，为两个随机序列，nX是nYY，，0的函数；（3）nnnXYYXE),,|(01则称}{nX关于}{nY为鞅，}{nX首页定理1充分性显然证}{nX关于}{nY是鞅的充要条件为，对任意非负整数m，n（nm）有nnmXYYXE),,|(0必要性用归纳法来证由假设知（1）当1nm时（1）成立。设当knm（1k）时（1）成立，则有),,|(01nknYYXE],,|),,|([001nknknYYYYXEE),,|(0nknYYXEnX即当1knm时（1）成立。首页性质1常数序列为鞅。证性质2即证}{nc其中ccn),,|(01nnYYcE),,|(0nYYcEncc若}{nX为鞅，则对任意0n，有0EXEXnnX的数学期望nEX是一常数0EX)],,|([011nnnYYXEEEXnEX依次递推，可得01EXEXEXnn首页例1令且对任意有证由条件期望的性质可得设}{nY（,2,1,0n）为独立随机序列，00YknknYX0),,|(01nnYYXE],,|)[(01nnnYYYXE),,|(0nnYYXE),,|(01nnYYYE1nnEYXnX0nEY0n则}{nX关于}{nY是鞅||||0knknYEXE且所以}{nX关于}{nY是鞅首页例2令证（1）设}{nY是任一随机序列，X为满足||XE的任一随机变量),,|(0nnYYXEX0n则}{nX关于}{nY是鞅|),,|(|||0nnYYXEEXE)],,||(|[0nYYXEE||XE（2）),,|(01nnYYXE],,|),,|([010nnYYYYXEE),,|(0nYYXEnX所以}{nX关于}{nY是鞅。],,|),,|([100nnYYYYXEE首页定义3对任意0n，有（1）||nXE（2）简称为上鞅设}{nX及}{nY，,2,1,0n，为两个随机序列，nX是nYY，，0的函数；（3）}{nX二、上、下鞅的定义及性质nnnXYYXE),,|(01则称}{nX关于}{nY为上鞅类似下鞅nnnXYYXE),,|(01首页关于上、下鞅的的直观解释：上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博；下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。性质3为鞅的充分必要条件是，既为上鞅也为下鞅。性质4上鞅}{nX}{nX}{nX下鞅}{nX下鞅}{nX上鞅}{nX首页性质5上鞅}{nXnnmXYYXE),,|(0nm0,0nm下鞅}{nXnnmXYYXE),,|(0nm0,0nm证明同定理1类似。用数学归纳法首页性质6上鞅}{nX下鞅}{nXnkEXEXEX0nk0nk0证由性质5得kknXYYXE),,|(0上鞅}{nXkknEXYYXEE)],,|([0nEXnkEXEXEX0首页上鞅性质7、上鞅}{nX}{nY}{nnYX下鞅、下鞅}{nX}{nY}{nnYX证对nm有)],,|)[(0nmmYYYXE),,|(0nmYYXE),,|(0nmYYYE上鞅}{nX}{nYnnYX首页上鞅性质8上鞅下鞅}{nX}{nY证}{nnYX下鞅下鞅上鞅}{nX}{nY}{nnYX由性质4及性质7立即可得结果首页性质9鞅}{nX下鞅证明|}{|nX对nm有),,||(|0nmYYXE|),,|(|0nmYYXE||nX例3设{，}是在直线上整数点上的贝努利随机游动，即它是一个以为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵满足nX,2,1,0n},2,1,0{I)(ijpP首页其中则（1）1||,01,1,ijijqijppiiijppi，qqi，10p，1qp{nX，,2,1,0n}是下鞅的充要条件是qp（2）（3）{nX，,2,1,0n}是上鞅的充要条件是qp{nX，,2,1,0n}是鞅的充要条件是qp首页证设其中所以故nnXX2100X表示初始位置{n}与0X独立{n，,2,1,0n}相互独立，且具有同分布：pPn)1(qPn)1(1n由nX的定义知，1n与{0X，1X，…，nX}独立),,,|(011XXXXEnnn),,,|(011XXXEnnn),,,|(01XXXXEnnn)(1nEnXqpnX),,,|(011XXXXEnnnnXqp下鞅00=0上鞅鞅首页三、停时定义5设}{nY（,2,1,0n）是一随机序列，是取值0，1，…，的一个随机变量，若对任意0n，事件}{n由nYY,,0决定，意即只从nYY,,0的知识判别n与否，也即),,(0}{}{nnnYY则称关于}{nY为停时，简称为停时首页停时的直观背景解释：设想赌徒在前n+1次赌博的赌本为，那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。停时的性质表示这一事件只依赖于n时刻以前（包括n时刻）的赌本，而与将来的赌本无关，即赌徒在时刻n是否停止赌博，只依赖于他过去的经历，而与尚未见到的将来情况无关。nYY,,0}{n,1nY定理2设是取值0，1，…，的一个随机变量，}{nY是随机序列下列命题等价：0n首页（1）（2）（3）关于}{nY为停时其它01),,(0}{}{nYYnnn其它01),,(0}{}{nYYnnn证明（1）与（2）的等价性一方面),,(0}{0}{0}{mmnmmnmnYY另一方面}1{}{}{nnn首页例4（2）与（3）的等价性由如下两个等式关系即得证所以为停时。}{}{1nn}{}{1nn设k（k为一常数），则为停时。对任意随机序列}{nY，有knknYYnn01),,(0}{首页令例5即为首次进入A的时刻，则是停时。设A为}{nY的状态空间T的一个子集，}min{)(AYnAn：)(A)(A证从)(A的定义直接得到),,(0})({nnAYY其他若0,1,,0,1AYnjAYnj即)(A是停时。注若令为最后进入A的时刻，则不是停时。)(A)(A原因是要确定，不仅要看是否取值在A中，还需知道全部的情况。nA)(nYY,,0,1nY返回首页第二节连续时间鞅一、定义设表示观测由时间t为连续时间随机过程，表示随时间流逝可得到的一系列信息集信息集满足],0[,tSt],0[,tIt若TtsTtsIII则称集合],0[,TtIt为过滤如果的值在每一时包含于信息集中，tS0ttI],0[,tSt],0[,tIt则称适应于即表示给出信息集，就会知道价值tItS首页使用不同的信息集就会产生顺序的不同的预期。从而可用条件期望表示成：设是一个随机过程，鞅信息集为和概率为PtI],0[,tSt即未被观测的未来价值的最好预测是的最近观测称过程是鞅tItSTtISESEtTTt],[][如果对所有0t，有（1）给出tI，tS就可知（2）非条件期望是有限的，即][tSE（3）并且如果tTtSSE][，对于所有Tt有概率1],0[,tSttS首页鞅过程的基本特征鞅是在给定当前信息集时，未来变化完全不可测的随机变量。鞅的未来变化的方向是不可能预测的。换句话例如设是一个鞅tS则在长度为0u的间隔内tS变化的预期：ttutttuttSESESSE][0ttSS即在一给定区间0u，tS变化的最好的预期是0反之如果一个过程的轨迹呈现出一个可识别的长或短期趋向，则这个过程不是鞅。首页鞅过程重要特征一个鞅的定义是考虑信息集和一些概率标准，如果改变与过程有关的信息集和概率，这个过程就不再是鞅。若一过程不是鞅，就能通过修改相关的概率标准P并且使称为鞅。二、鞅在资产定价方面的应用反之有tXtX1通常贴现债券的价格随时间而增加，平均起来是上涨如果tB代表在时间T到期的贴现债券的价格Tt则有][uttBEBTut债券的价格即贴现债券价格的运动不是鞅首页2通常一风险股票会有一正的期望收益。其中是一个正的期望收益率股票价格即风险股票不是鞅对于一小间隔可大体写成][tttSSE3期权期权有时间价值，并且随时间流逝欧式期权价格会下降。故也不是鞅。首页尽管大多数金融资产不是鞅，但可以把它们转化成鞅4下鞅转化成鞅方法第一种这是围绕趋向的偏离完全不可测，只要减去期望趋向，变形的变量即是鞅。道布—迈耶分解在一些普通条件下，一任意的连续时间过程能被分解成一个鞅和一个增长（或下降）过程，后部分的消除即可产生鞅。第二种找一个与给定的概率P等价的概率，计算新的条件期望，使其成为一个鞅。P~首页债券价格例如股票价格可以找一概率分布以使债券或股票价格通过无风险利率贴现变成鞅P~tTuBBeEtutruPt0,][~uSSeEtutruPt0,][~uSSeEtutruPt0,][][uttBEBTut返回首页第三节鞅轨迹的特征一、鞅轨迹的描述设tX表示一资产价格考虑在信息集tI和概率P~情况下，则鞅的特征tttPXIXE][~0是小的时间间隔考虑鞅变化tX=tXtX由于tX是鞅，则0][~ttPIXE它意味着鞅的增量是完全不可测的。首页则无论多么小，鞅就会呈现出非常不规则的轨迹。事实上若呈现出任何肉眼能看出的趋势，则就是可测的。不规则轨迹在两种方式下发生，即连续或跳跃。其对应的是连续鞅和右连续鞅tX连续鞅轨迹对于任意00)(tXP0时间连续鞅轨迹是连续的首页右连续鞅轨迹轨迹被偶然的跳跃所干扰，从而使轨迹成为右连续。即在跳跃点是鞅右连续。时间图2连续平方可积鞅设是一连续鞅，且具有有限二阶矩：tX][2tXE则称具有有限方差的过程为连续平方可积鞅。tX注连续平方可积鞅非常接近于布朗运动。首页例1构造一个具有两个相互独立泊松过程的鞅假设金融市场由“好”和“坏”的消息影响。忽略消息内容，但保留其好或坏的信息。且用假定到达金融市场的信息与过去完全无关，并且好、坏信息是完全独立的。假定在一微小间隔内至多有一个好或坏信息能发生，并且这两种信息发生的概率一样。GtN表示到t时间所有好信息数，BtN则代表坏信息数即增量变化的概率可表示为)1(GtNP=)1(BtNP则变量是鞅tM=GtNBtN首页证明则条件期望其中故tM的增量在微小间隔内可表示成tM=GtNBtN][][][BttGt