数列专题复习及答案

数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562Nnnnan，则数列na的最大项是2、在等差数列{}na中，若46101290aaaa，则101413aa3、已知等比数列na，若151,4aa，则3a的值为4、数列{}na中，23a，15a，则数列1{}1na是等差数列，则11a5、在数列{}na和{}nb中，nb是na与1na的等差中项，12a且对任意nN都有031nnaa，则数列{}nb的通项公式为__________6、设等差数列na的公差d不为0，19ad，ka是1a与2ka的等比中项，则k7、等差数列{}na的前n项和为nS，若4510,15SS,则4a的最大值为8、正数数列{}na中，已知12a，且对任意的,stN,都有ststaaa成立，则12231111nnaaaaaa9、等差数列{}na的前n项和为nS，且42358,26aaaa，记2nnSTn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，nTM都成立．则M的最小值是__________10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,nnnaSaaaS中，各项的和为且则实数1a的范围11、设正数数列{}na的前n项和为nS，且存在正数t，使得对于所有自然数n，有2nnattS成立，若limnnnSta，则实数t的取值范围为12、数列{na}的通项公式为12(12)1()(3,)3nnnnannN，则nnSlim13、已知数列{}na的通项公式为121nna，则0121231nnnnnnaCaCaCaC14、数列{}na满足112(0)2121(1)2nnnnnaaaaa，若761a，则2007a的值为____15、在数列{}na中，如果对任意nN都有211()nnnnaakkaa为常数，则称{}na为等差比数列，k称为公差比.现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0；⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nna,则数列{}na是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列}{na的公差为d，前n项的和为nS，当首项1a和d变化时1182aaa是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）7.AS8.BS13.CS15.DS17、在等差数列}{na中，15100,517aaa，则数列}{na前n项和nS取最大值时，n的值为（）.12A.11B.10C.9D18、设}{na为等差数列，若11101aa，且它的前n项和nS有最小值，那么当nS取得最小正值时，n（）.11A.17B.19C.20D19、等差数列}{na的前n项和为nS，且56SS,678SSS,则下列结论中错误的是（）.0Ad7.0Ba95.CSS67.nDSSS和均为的最大值20、已知数列{}na、{}nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba．设nbnac（*Nn），则数列{}nc的前10项和等于（）.A55.70B.85C.100D21、已知等差数列{}na的前n项和为nS，若OB＝1200aOAaOC＋，且,,ABC三点共线（该直线不过原点O），则200S=（）.A100.B101.C200.D20122、已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为nA和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）.2A.3B.4C.5D三、解答题23、设数列na的前n项和为nS，已知1aa，13nnnaS，*nN．（1）设3nnnbS，求nb的通项公式；（2）若1nnaa，*nN，求a的取值范围．24、数列na满足aa1，aa2（0a），且na从第二项起是公差为6的等差数列，nS是na的前n项和．（1）当2n时，用a与n表示na与nS；（2）若在6S与7S两项中至少有一项是nS的最小值，试求a的取值范围；25、数列{}na中，112a，点1(,2)nnnaa在直线yx上，其中nN；（1）设11,nnnbaanb求证:数列是等比数列；（2）求数列na的通项；（3）设分别为数列、nnTSna、nb的前n项和，是否存在实数，使得数列nnSTn为等差数列？若存在，试求出；若不存在，则说明理由。26、已知数列}{na的前n项和为nS，p为非零常数，满足条件：①11a；②)2(411npaSaSnnnn；③23limnnS（1）求证：数列}{na是等比数列；（2）求}{na的通项公式；（3）若1[(lg3lg)lg](0)nnnctntat，且数列}{nc中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围.27、已知数列na满足3212169,(0)nnaaaanrrrr),1(Nnn。⑴求数列na的通项公式；⑵若nnanb)23(，且43r，求nb的最大值；⑶若|sin|2nnnca),1(Nnn，记nnccccT321，求122limnnnTT。28、在xOy平面上有一系列点111222,,,,,,,,nnnPxyPxyPxy对每个自然数n，点nP位于函数20yxx的图象上.以点nP为圆心的圆nP与x轴都相切,且圆nP与圆1nP又彼此外切.若11,x且1nnxxnN.（1）求证:数列1nx是等差数列；（2）记nS为数列1nx的前n项和，试判断方程：2111sinsin1nnnnSxxx是否有解？说明理由。（3）设111)1(nnnnxxb，数列nb的前n项和为nS，求nS。29、函数fx是这样定义的：对于实数x，如果存在整数m，使得12xm，那么就有fxm。（1）求函数fx的定义域D，并画出它在3,3xD上的图象；（2）已知数列22105nna，求123nfafafafa；（3）已知等比数列na的首项是11a，公比为q，又1234fafafa，求公比q的取值范围。数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562Nnnnan，则数列na的最大项是1252、在等差数列{}na中，若46101290aaaa，则101413aa153、已知等比数列na，若151,4aa，则3a的值为24、数列{}na中，23a，15a，则数列1{}1na是等差数列，则11a05、在数列{}na和{}nb中，nb是na与1na的等差中项，12a且对任意nN都有031nnaa，则数列{}nb的通项公式为___14()3nnb_______6、设等差数列na的公差d不为0，19ad，ka是1a与2ka的等比中项，则k47、等差数列{}na的前n项和为nS，若4510,15SS,则4a的最大值为48、正数数列{}na中，已知12a，且对任意的,stN,都有ststaaa成立，则12231111nnaaaaaa=4(1)nn9、等差数列{}na的前n项和为nS，且42358,26aaaa，记2nnSTn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，nTM都成立．则M的最小值是____2____10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,nnnaSaaaS中，各项的和为且则实数1a的范围(0,2)(2,4)11、设正数数列{}na的前n项和为nS，且存在正数t，使得对于所有自然数n，有2nnattS成立，若limnnnSta，则实数t的取值范围为32(,)212、数列{na}的通项公式为12(12)1()(3,)3nnnnannN，则nnSlim551813、已知数列{}na的通项公式为121nna，则0121231nnnnnnaCaCaCaC23nn14、数列{}na满足112(0)2121(1)2nnnnnaaaaa，若761a，则2007a的值为__37__15、在数列{}na中，如果对任意nN都有211()nnnnaakkaa为常数，则称{}na为等差比数列，k称为公差比.现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0；⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nna,则数列{}na是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确的命题的序号为（1）（3）（4）二、选择题16、等差数列}{na的公差为d，前n项的和为nS，当首项1a和d变化时1182aaa是一个定值，则下列各数中也为定值的是（C）7.AS8.BS13.CS15.DS17、在等差数列}{na中，15100,517aaa，则数列}{na前n项和nS取最大值时，n的值为（A）.12A.11B.10C.9D18、设}{na为等差数列，若11101aa，且它的前n项和nS有最小值，那么当nS取得最小正值时，n（D）.11A.17B.19C.20D19、等差数列}{na的前n项和为nS，且56SS,678SSS,则下列结论中错误的是（C）.0Ad7.0Ba95.CSS67.nDSSS和均为的最大值20、已知数列{}na、{}nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba．设nbnac（*Nn），则数列{}nc的前10项和等于（C）.A55.70B.85C.100D21、已知等差数列{}na的前n项和为nS，若OB＝1200aOAaOC＋，且,,ABC三点共线（该直线不过原点O），则200S=（A）.A100.B101.C200.D20122、已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为nA和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（D）.2A.3B.4C.5D三、解答题23、设数列na的前n项和为nS，已知1aa，13nnnaS，*nN．（1）设3nnnbS，求nb的通项公式；（2）若1nnaa，*nN，求a的取值范围．解：(1)依题意，113nnnnnSSaS，即123nnnSS，由此得1132(3)nnnnSS．因此，所求通项公式为13(3)2nnnnbSa，*nN．①（2）由①知13(3)2nnnSa，*nN，于是，当2n时，1nnnaSS1123(3)23(3)2nnnnaa1223(3)2nna，12143(3)2nnnnaaa22321232nna，当2n时，21312302nnnaaa5a．又2113aaa．综上，所求的a的取值范围是5，．24、数列na满足aa1，aa2（0a），且na从第二项起是公差为6的等差数列，nS是na的前n项和．（1）当2n时，用a与n表示na与nS；（2）若在6S与7S两项中至少有一项是nS的最小值，试求a的取值范围；解：（1）由已知，当2n时，)2(6naan，即)12(6anan12(1)(2)(1)()62nnnnSaaaana62)9(32anan23(9)26()nSnananN（2）