数列知识点及常用解题方法归纳总结

1数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义：为常数，aaddaandnnn111()等差中项：，，成等差数列xAyAxy2前项和nSaannanndnn11212性质：是等差数列an（）若，则；1mnpqaaaamnpq（）数列，，仍为等差数列；2212aakabnnnSSSSSnnnnn，，……仍为等差数列；232（）若三个数成等差数列，可设为，，；3adaad（）若，是等差数列，为前项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52aSanbnabnnn0的二次函数）SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。adaaSnnnn110000当，，由可得达到最小值时的值。adaaSnnnn110000如：等差数列，，，，则aSaaaSnnnnnn1831123（由，∴aaaaannnnn12113331又·，∴Saaaa313222331132∴·Saanaannnnn12122131218n27）二、等比数列的定义与性质定义：（为常数，），aaqqqaaqnnnn1110等比中项：、、成等比数列，或xGyGxyGxy2前项和：（要注意）nSnaqaqqqnn111111()()!性质：是等比数列an（）若，则··1mnpqaaaamnpq（），，……仍为等比数列2232SSSSSnnnnn三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、nnaS求由；（时，，时，）naSnaSSnnn121113、求差（商）法如：满足……aaaannnn121212251122解：naa1122151411时，，∴naaannn2121212215212211时，……12122得：nna，∴ann21，∴annnn141221()()［练习］数列满足，，求aSSaaannnnn111534（注意到代入得：aSSSSnnnnn1114又，∴是等比数列，SSSnnn144naSSnnnn23411时，……·34、叠乘法例如：数列中，，，求aaaannannnn1131解：aaaaaannaannnn213211122311·……·……，∴又，∴aann1335、等差型递推公式由，，求，用迭加法aafnaaannn110()naafaafaafnnn22321321时，…………两边相加，得：()()()aafffnn123()()()……∴……aafffnn023()()()［练习］数列，，，求aaaanannnnn111132（）ann12316、等比型递推公式acadcdccdnn1010、为常数，，，可转化为等比数列，设axcaxnn1acacxnn11令，∴()cxdxdc11∴是首项为，为公比的等比数列adcadccn111∴·adcadccnn1111∴aadccdcnn11114［练习］数列满足，，求aaaaannnn11934（）ann843117、倒数法例如：，，求aaaaannnn11122，由已知得：1221211aaaannnn∴11121aann，111121aan为等差数列，，公差为11112121annn·，∴ann21三、求数列前n项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为的等差数列，求adaankkkn111解：由·11111011aaaaddaadkkkkkk∴11111111aadaakkknkkkn11111111111223111daaaaaadaannn……［练习］求和：…………111211231123n（…………，）aSnnn2113、错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项ababnnnnn和，可由求，其中为的公比。SqSSqbnnnn5如：……Sxxxnxnn12341231xSxxxxnxnxnnn·……234122341121121：……xSxxxnxnnnxSxxnxxnnn11112时，xSnnnn112312时，……4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121…………相加21211Saaaaaannnn…………［练习］已知，则fxxxfffffff()()()()()2211212313414（由fxfxxxxxxxx()1111111112222222∴原式fffffff()()()()121231341412111312）例1设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（）A．128B．80C．64D．56（福建卷第3题）略解：∵a2+a7=a1+a8=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．例2已知等比数列{}na满足122336aaaa，，则7a（）A．64B．81C．128D．243（全国Ⅰ卷第7题）答案：A．例3已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前5项和等于（）6A．30B．45C．90D．186（北京卷第7题）略解：∵a5-a2=3d=9，∴d=3，b1=26a，b5=a10=30，nb的前5项和等于90，故答案是C．例4记等差数列的前n项和为nS，若244,20SS，则该数列的公差d（）A．2B．3C．6D．7（错误!未找到引用源。第4题）略解：∵422412,3SSSdd,故选B.例5在数列{}na中，542nan，212naaaanbn，*nN,其中,ab为常数，则ab．（安徽卷第15题）答案：－1．例6在数列{}na中，12a，11ln(1)nnaan，则na（）A．2lnnB．2(1)lnnnC．2lnnnD．1lnnn（江西卷第5题）答案：A．例7设数列na中，112,1nnaaan，则通项na___________．（四川卷第16题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11nnaan中1,nnaa系数相同是找到方法的突破口．略解：∵112,1nnaaan∴111nnaan，1221nnaan，2331nnaan，，3221aa，2111aa，1211a．将以上各式相加，得123211nannnn111122nnnnn，故应填(1)2nn+1．例8若(x+12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为()A．6B．7C．8D．9(重庆卷第10题)答案：B．使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第47题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．例9已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（1,nnaa）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+2na，求证：bn·bn+2＜b2n+1.（福建卷第20题）略解：（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+(n-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵.bn•bn+2-b21n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-2n＜0,∴bn·bn+2＜b21n．对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：∵b2=1,bn·bn+2-b21n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b21n=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n0，∴bn-bn+2b2n+1.例10在数列na中，11a，122nnnaa．（Ⅰ）设12nnnab．证明：数列nb是等差数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS．（全国Ⅰ卷第19题）略解：（Ⅰ）1nnbb=1122nnnnaa=122nnnaa=22nn=1，则nb为等差数列，11b，nbn，12nnan．（Ⅱ）01211222(1)22nnnSnn，12121222(1)22nnnSnn．两式相减，得01121222221nnnnnSnn=(1)21nn．对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b3-b2=1等有限个的验证归纳得到nb为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．8例11等差数列{}na的各项均为正