计算方法-习题第一、二章答案

第一章误差1问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析利用有效数字的概念可直接得出。解π=3.14159265…记x1=3.142，x2=3.141，x3=722.由π-x1=3.14159…-3.142=-0.00040…知3411110||1022x因而x1具有4位有效数字。由π-x2=3.14159…-3.141=-0.00059…知2231021||1021x因而x2具有3位有效数字。由π-722=3.14159…-3.14285…=-0.00126…知231021|722|1021因而x3具有3位有效数字。2已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。分析本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。解利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a1是1到9之间的数字。%5101211021|*||*||)(|1211*nraxxxx3已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析本题利用有效数字与相对误差的关系。解a1是1到9间的数字。1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(axr设x*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。4计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。分析本题应利用有效数字与相对误差的关系。解设取n位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a1=9。411*10%01.01021|*||*||)(nraxxxx解不等式411101021na知取n=4即可满足要求。5计算76017591，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。解760175910.1318×10-2-0.1316×10-2=0.2×10-5结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：56101734.0105768.01760759176017591就得到4位有效数字的结果。此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算xxsincos1时，应先把算式变形为xxxxxxxcos1sin)cos1(sincos1sincos12再计算。又例如，当x充分大时，应作变换xxxx111)1(1111xxxx6计算6)12(a，取4.12，采用下列算式计算：（1）6)12(1；（2）27099；（3）3)223(；（4）3)223(1.问哪一个得到的结果最好？解显然66666)12(1)12()12()12()12(a27099)223()12()12(332633266)223(1)12(1)12(1)12(所以（1）≡（2）≡（3）≡（4），这4个算式是恒等的，但当取4.12计算时，因为（2），（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好，事实上，当取4.12时，有|△x|0.015，再由)(xf的误差|||)4.1(||)()(xfxfxxf也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误差最小。具体计算可行：（1）36102.5)12(1；（2）0.127099（3）33100.8)223(；（4）33101.5)223(1.比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于a。7求二次方程x2-(109+1)x+109=0的根。解由于x2-(109+1)x+109=（x-109）(x-1)，所以方程的两个根分别为x1=109，x2=1但如果应用一般二次方程ax2+bx+c=0的求根公式：aacbbx2422,1由于当遇到b24|ac|的情形时，有acbb4||2，则用上述公式求出的两个根中，总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小数点后8位的计算机上进行计算，则-b=109+1=0.1×1010+0.0000000001×1010，由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，-b=109.通过类似的分析可得9210||4bacb所以，求得的两个根分别为99921102101024aacbbx021010249922aacbbx显然，根x2是严重失真的。为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式：acxx21，在计算机上采用如下公式：aacbbbx24)sgn(2112axcx其中，sgn（b）是b的符号函数，当b≥0时sgn（b）=1；当b0时，sgn（b）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。8当N充分大时，如何计算111NNdxxI分析函数211x的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分的值。由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种情况。解若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题，有12arctan)1arctan(11NNNNx，则当N充分大时，因为arctan（N+1）和arctanN非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令tanθ1=N+1,tanθ2=N，则由NNNNNN)1(11)1(11tantan1tantan)tan(212121,得NNNN)1(11arctanarctan)1arctan(21就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当N充分大时，用12211arctan11NNNNx计算积分的值较好。9计算积分101,2,1(ndxexIxnn.分析数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。解利用分部积分法，有101011101110110111|dxexndxnxeexdexdxexxnnxxnxnxn得递推公式：1(1,2,)nnIInIn（1）1010011edxexIx利用公式（1）计算In，由于初值I0有误差，不妨设求I0的近似值*0I时有大小为ε的误差，即00II则由递推公式（1）得1001IIIIII!22222112IIIIII!3!23333223IIIIII!4!34444334IIIIII┊!)1(nIInnn显然初始数据的误差ε是按n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10！≈3.629×106,!10||1010II，这表明I10时已把初始误差ε扩大了很多倍，从而10I的误差已把I10的真值淹没掉了，计算结果完全失真。但如果递推公式（1）改成)2,3,1,()(11kknIInInn于是，在从后往前计算时，In的误差减少为原来的n1，所以，若取n足够大，误并逐步减小，显然，计算的结果是可靠的。所以，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性问题，数值不稳定的算法是不能使用的。10为了使计算32)1(6)1(41310xxxy的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？解设.))64(3(10,11tttyxt在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。11若x*=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，求x的绝对误差限。12为使70的近似值的相对误差小于0.1，问查开方表时，要取几位有效数字？13利用四位数学用表求x=1-cos2°的近似值，采用下面等式计算：（1）1-cos2°（2）2sin21°问哪一个结果较好？14求方程x2-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（已知982.27783）。15数列0}{nx满足递推公式),2,1(1101nxxnn若取41.120x(三位有效数字)，问按上述递推公式，从x0计算到x10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？16如果近似值mnnaaaax10)101010(123121的相对误差限小于1110)1(21na，证明：这个数具有n位有效数字。第二章插值法与数值微分1已知12144,11121,10100，试利用插值法近似计算115。分析由题中已知条件本题可利用三点二次Lagrange插值，也可利用三点二次Newton插值，它们所得结果相同。解利用三点二次Lagrange插值。记12,11,10,144,121,100,)(210210yyyxxxxxf，则)(xf的二次Lagrange插值多项式为))(())(())(())(()(210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxL))(())((1202102xxxxxxxxy)144121)(100121()144)(100(11)144100)(121100()144)(121(10xxxx)121144)(100144()121)(100(12xx)115(115)115(2Lf)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10756722.10)121144)(100144()121115)(100115(12因为25232183)(,41)(,21)(xxfxxfxxf，)()()(22xLxfxR)144,100(),)()()((!31210xxxxxxf所以|)115()115(||)115(|22LfR|)144115)(121115)(100115(8361|25≤22510125163.02961510083612已知)(xfy的函数表xi012yi8-7.5-18求函数)(xf在[0,2]之间的零点的近似值。分析一般情况下，先求出)(xf在[0，2]上的插值函数)(xP，然后求)(xP的零点，把此零点作为)(xf的近似零点。特别地，若)(xf的反函数存在，记为)(yx，那么求)(xf的零点问题就变成求函数值)0(的问题了，利用插值法构造出)(y的插值函数，从而求出)(xf的零点)0(的近似值，这类问题称为反插值问题，利用反插值时，必须注意反插值条件，即函数)(xfy必须有反函数，也即要求)(xfy单调。本题iy是严格单调下降排列，可利用反插值法。解将原函数表变成反函数表yi8-7.5-18xi012利用三点二次Lagrange插值，由上反函数表构造)(xfy的反函数)(yx的二次Lagrange插值多项式。令2,1,0,18,5.7,8210210xxxyyy，则)(yx的二次Lagrange插值多项式为))(())(())(())(()(210120112102102yyyyyyyyxyyyyyyyyxyL))(())((1202102yyyyyyyyx函数)(xfy的近似零点为)18