高中数学圆锥曲线的知识点总结

-1-高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程(,)0fxy的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系：若曲线C的方程是(,)0fxy，则点000(,)Pxy在曲线C上00(,)0fxy；点000(,)Pxy不在曲线C上00(,)0fxy.两条曲线的交点：若曲线1C，2C的方程分别为1(,)0fxy，2(,)0fxy，则点000(,)Pxy是1C，2C的交点{0),(0),(002001yxfyxf方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.二、圆：1、定义：点集{|}MOMr，其中定点O为圆心，定长r为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在(,)Cab，半径为r的圆方程是222()()xaybr圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是222xyr(2)一般方程：①当2240DEF时，一元二次方程220xyDxEyF叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2242DEF.配方，将方程220xyDxEyF化为22224()()224DEDEFxy②当2240DEF时，方程表示一个点)2,2(ED③当2240DEF时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系已知圆心(,)Cab，半径为r，点M的坐标为00(,)xy，则||MCr点M在圆C内，||MCr点M在圆C上，||MCr点M在圆C外，其中2200||()()MCxayb.（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点.②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心(,)Cab到直线0AxByC的距离22BACBbAad与半径r的大小关系来判定.-2-三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点(,)Pxy到一个定点(,0)Fc的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数(0)ee，则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点(,0)Fc称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.当01e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线.四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点1F，2F的距离之和为定值122(2||)aaFF的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(01)e1．到两定点1F，2F的距离之差的绝对值为定值122(02||)aaFF的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(1)e与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：1212{|||||2,||2}MMFMFaFFa点集：1212{|||||2,||2}MMFMFaFFa点集：{|||}MMFMl点到直线的距离图形xyMx=a2cx=-a2ccabF2F1B2B1A2A1方程标准方程12222byax(ba0)12222byax(0,0)abpxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t为参数)范围axa，byb||xa，yR0x-3-中心原点(0,0)O原点(0,0)O顶点(,0)a，(,0)a(0,)b，(0,)b(,0)a，(,0)a(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a，虚轴长2b.x轴焦点1(,0)Fc，2(,0)Fc1(,0)Fc，2(,0)Fc)0,2(pF准线2axc准线垂直于长轴，且在椭圆外.2axc准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.2px准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.渐近线无byxa无焦距222()ccab222()ccab焦半径12||,||PFaexPFaex左支：12||()||()PFexaPFexa右支：12||||PFexaPFexa||2pPFx通径22ba22ba2p离心率)10(eace)1(eace1e【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax-4-与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.（3）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax；如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注2】抛物线：（1）抛物线22(0)ypxp的焦点坐标是(2p，0)，准线方程2px，开口向右；抛物线22(0)ypxp的焦点坐标是(2p，0)，准线方程2px，开口向左；抛物线22(0)xpyp的焦点坐标是(0，2p)，准线方程2py，开口向上；抛物线22(0)xpyp的焦点坐标是(0，2p)，准线方程2py，开口向下.（2）抛物线22(0)ypxp上的点00(,)Mxy与焦点M的距离20pxMF；（3）设抛物线的标准方程为22(0)ypxp，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p.五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是(,)xy，在新坐标系'''xOy中的坐标是),(''yx.设新坐标系的原点'O在原坐标系xOy中的坐标是(,)hk，则''xxhyyk叫做平移(或移轴)公式.六、椭圆的常用结论：1.点P处的切线PT平分12PFF在点P处的外角.证明：如图，设1(,0)Fc，2(,0)Fc，00(,)Pxy.对椭圆方程22221xyab两边求导得，'22220xyyab2'2bxyay，002'0(,)20PTxybxkkyay-5-又12001200,PFPFyykkkkxcxc2221220()tan2tan()1kkbPFFPTFkkcy同理20tan4bcy故24总结：角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率，多利用几何方法补充角平分线定理2.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.（和圆上点的切线做比较）解析：对椭圆方程22221xyab两边求导得，'22220xyyab2'2bxyay，002'0(,)20PTxybxkkyay故直线方程为00221xxyyab总结：常见的求切线的方法3.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为12PP、，则切点弦12PP的直线方程是00221xxyyab.补充圆的切线公式：200()()()()xaxaybybr圆的切点弦公式：200()()()()xaxaybybr总结：知识点的对比性记忆4.椭圆22221xyab(0)ab的左右焦点分别为12FF、，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.证明：设12,PFmPFn，则由余弦定理可得22242coscmnmn224()2(cos1)cmnmn-6-221cosbmn12221sinsintan21cos2PFFSmnbb总结：求面积的方法：12底乘高、大减小、割补法、1sin2SabC5.椭圆22221xyab(0)ab的焦半径公式10||MFaex，，其中(1(,0)Fc，2(,0)Fc，00(,)Mxy).解析：22222222220010000022()||()2bxcxaMFcxyxcxxbaa10||MFaex同理10||MFaex6.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，00(,)Mxy为AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB.解析：设直线方程为00()ykxxy，联立可得22200120222222akxkayxxxbak，2020bxkay7.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被0P所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab；8、已知椭圆22221xyab(0)ab，O为坐标原点，PQ、为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111||||OPOQab;（2）22||||OPOQ的最小值为22224abab;（3）OPQS的最小值是2222abab.解析:设直线方程为ykxm，联立可得222222222()20akbxkmaxamab可得22222212121212222,()amabxxyykxxkmxxmakb由222121222201mabxxyykab22222222222222211||||||11||||||||||OPOQPQabOPOQOPOQPQdabab（2）222222222221111||||||||()(||||)()()2OPOQOPOQOPOQabab-7-2222224||||abOPOQab（3）同理可求2222OPQabSab七、双曲线的常用结论：1、点P处的切线PT平分12PFF在点P处的内角.2、若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(0,0)ab上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab.3、若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(0,0)ab外，则过0P作双曲线的两条切线切点为12PP、，则切点弦12PP的直线方程是00221xxyyab.4、双曲线22221xyab(0,0)ab的左右焦点分别为12FF、，点P为双曲线上任意一点12FPF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2FPFSbco.5、双曲线22221xyab(0,0)ab的焦半径公式：(1(,0)Fc，2(,0)Fc）当00(,)Mxy在右支上时，10||MFexa，20||MFexa；当00(,)Mxy在左支上时，10||MFexa，20||MFexa.6、AB是双曲线22221xyab(0,0)ab的不平行于对称轴的弦，00(,)Mxy为AB的中点，则0202yaxbKAB.7、若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(0,0)ab内，则被0P所平分的中点弦的方程2200002222xxyyxyabab.8、已知双曲线22221xyab(0)ba，O为坐标原点，PQ、为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111||||OPOQab;（2）22|