2.2.1椭圆及其标准方程(第一课时)

引例:若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？思考:平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是什么呢？平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.探究：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？如果把细绳的两端的距离拉大，那是否还能画出椭圆？结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).（1）当2a2c时，轨迹是；（2）当2a=2c时，轨迹是；（3）当2a2c时，；椭圆以F1、F2为端点的线段无轨迹二、基础知识讲解•平面上到两个定点的距离的和等于定长2a,（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。•定点F1、F2叫做椭圆的焦点。•两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。1.椭圆定义：如图：caMFMF2221F1F2M2cOxyF1F2M如图所示:F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a(2a2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，(-c,0)(c,0)(x,y)设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}aycxycx2)()(2222即2222)(2)(ycxaycx如何化简?则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。问题:求曲线方程的基本步骤？（1）建系设点;（2）写出条件；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）下结论。OxyF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)∵2a2c0，即ac0，∴a2-c20，(ab0)2222)(2)(ycxaycx2222222)()(44)(ycxycxaaycx则222)(ycxacxa整理得2222222222422yacacxaxaxccxaa两边平方得：两边同除以a2(a2-c2)得:122222cayaxP,||||,||||2121cOFOFaPFPF可得22||caPO22||caPOb令那么①式12222byax如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点①你能在图中找出表示a，c，，的线段吗？22ac,,abc怎样判断大小关系？OxyF1F2MOxyF1F2M22221(0)xyabab22221(0)yxabab222cab这里222cab这里)0,(),0,(21cFcF焦点),0(),,0(21cFcF焦点2.椭圆的标准方程思考：方程Ax2+By2=C何时表示椭圆？答：A、B、C同号且A、B不相等时。三、例题分析543(-3,0)、(3,0)6x例1.已知椭圆方程为,则(1)a=,b=,c=;(2)焦点在轴上,其焦点坐标为,焦距为。(3)若椭圆方程为,其焦点坐标为.2212516xy1251622yx(0,3)、(0,-3)例1.已知椭圆方程为,2212516xyF1F2CD(4)已知椭圆上一点P到左焦点F1的距离等于6，则点P到右焦点的距离是；(5)若CD为过左焦点F1的弦，则∆CF1F2的周长为，∆F2CD的周长为。41620例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.)23,25(解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为).0(12222babyax由椭圆的定义知102)23()225()23()225(22222a所以.10a又因为,所以2c.6410222cab因此,所求椭圆的标准方程为.161022yx例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.)23,25(解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为).0(12222babyax)0,2(),0,2(焦点的坐标分别是又2c422ba1)()(22232225ba又由已知①②联立①②,61022ba，解得因此,所求椭圆的标准方程为.161022yx求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.四、针对性训练1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则动点P的轨迹为（）变式：(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则动点P的轨迹为（）(2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（）A.椭圆B.线段F1F2C.直线F1F2D.无轨迹ABD（一）补充练习2.方程表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.14522kyx变式：（1）方程表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围.（2）方程表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆，求k的值.14522kyx14522kyxk0且k≠5/4k5/4k＝1/4四、针对性训练（二）创新设计P24～25课后优化训练2.3.7.8.222.13xABCyABCABC已知的顶点B、C在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长为()A.23B.43C.6D.16223.2236ykxxy当直线的倾斜角大于45小于90时，它和曲线的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.不能确定BCnmR7.?神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为，那么这个椭圆的焦距为___________千米.2212128.143xyPFFkPFPF是椭圆上的点，和是焦点，则的最大值是____，最小值是_____.m-n43四、小结巩固1.椭圆的定义：平面上到两个定点的距离的和等于定长2a(大于2c)的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。2.椭圆的两种标准方程：yoF1F2MxyxoF2F1M222210yxabab定义图形标准方程焦点及位置判定a,b,c之间的关系|MF1|+|MF2|=2a222210xyabab)0,(),0,(21cFcF焦点),0(),,0(21cFcF焦点222cba五、布置作业作业:课本P49习题2.2A组1.2.练习:创新设计P24～25课后优化训练答案：1.2.2)sin()sin()(180sin)sin(aaAC3.用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为()A．285cmB．2610cmC．2355cmD．220cm