热统习题解答(全)

1第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。解：理想气体的物态方程为RTpV,由此可算得：PPVVkTTPPTTVVTVP1)(1;1)(1,1)(11.2证明任何一种具有两个独立参量T，P的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ，根据下述积分求得：)(lnkdPadTV，如果PkTa1,1，试求物态方程。证明：dppVdTTVpTdVTP)()(),(两边除以V,得dpdTdppVVdTTVVVdVTP)(1)(1积分后得)(lnkdPadTV如果,1,1pT代入上式，得CPTPdPTdTVlnlnln)(ln所以物态方程为：CTPV与1mol理想气体得物态方程PV=RT相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。1.3在00C和1atm下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.1852×10-5K-1，k=7.8×10-7atm-1。a和k可以近似看作常数。今使铜加热至100C，问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm，铜块的体积改变多少？解：（a）由上题dpdTdppVVdTTVVVdVTP)(1)(1体积不变，即0dV所以dTkadP即atmTkaP62210108.71085.475(b)475121211211007.4100108.7101085.4)()(ppTTVVVVV可见，体积增加万分之4.07。1.4描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力F,物态方程是f(F,L,T)=0。实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为FTLLa)(1，等温杨氏模量定义为TLFALY)(，其中A是金属丝的截面积。一般来说，和Y是T的函数，对F仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为21()FYATT证明：（a）设(,)FFTL，则LTFFdFdTdLTL（1）由于1LFTFTLTLF3所以LTFFFLTLT（2）将（2）式代入（1）式，并利用线胀系数α和等温杨氏模量的定义式，得TFTFLFAYdFdTdLAYdTdLLTLL（3）（b）当金属丝两端固定时，dL＝0，由（3）式得dFaAYdT当温度由T1降至T2时，积分上式得21()FYATT（4）1.5一理想弹性物质的物态方程为2020()LLFbTLL，其中L是长度，L0是张力F为零时的L值，它只是温度T的函数，b是常数。试证明：（a）等温杨氏模量为)2(2200LLLLAbTYAbTY30.（b）在张力为零时，线膨胀系数2/1/13033030LLLLT其中.10dLdLT(c)上述物态方程适用于橡皮带，设，.105,10114026KmA试计算当0LL分别为0.5，1.0，1.5和121033.1,300.KNbKT42.0时的F,Y,对0LL的曲线。证明：（a）由弹性物质得物态方程，可得203021TLFbTLLL（1）将上式代入等温杨氏模量的定义式22003200221TLLLFLbTLYbTALALLALL（2）当F＝0时，L＝L0，由（2）式得0312bTbTYAA（3）（b）在F不变下，将物态方程对T求导，得22000002022400220FFFFLLLLLLLLLLLLTTTTTLLLL由上式解出FLT,可得2223000022230000000232003220002111111(4)222FFLLLLLLLLLTLLTLLLLLLLLLLTTTLLLLLLL其中0001dLLdT1.61mol理想气体，在27oC的恒温下体积发生膨胀，其压强由20pn准静态地降到1pn，求气体所作的功和所吸收取的热量。5解：(a)在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为2121,ln12VVVVVVRTVdVRTpdVW因为,,2211RTVpRTVp故有,2112ppVV.1046.720ln30031.8ln1321molJppRTW(b)理想气体在恒温膨胀过程中，内能不变，根据热力学第一定律，求得.1046.713molJWQ1.7在25oC下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为13263)10046.010715.0066.18(molcmppV如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn,求外界所作的功。解：写出,2cpbpaV则dV=(b+2cp)dp=dpp)10046.0210715.0(63所要求的功2110002310001133263331312(2)()2312(0.715)10(10)0.04610(10)23326.83/33.1(10.101324)VVnnWpdVpbcpdpbpcppcmmolJmolpcmJ1.8承前1.5题，使弹性体在准静态等温过程中长度由L0压缩为,20L试计算外界所作的功。解：外界对弹性体作的元功表达式为6dWFdL（1）将物态方程代入上式，得2020LLdWbTdLLL（2）注意到在等温过程中L0不变，当弹性体在等温过程中长度由L0压缩为L0/2时，外界所作的功为00/22002058LLLLWbTdLbTLLL（3）1.9在0oC和1pn下，空气的密度为1.291mkg.空气的定压比热容.41.1,96611KkgJcp今有27m3的空气，试计算：（i）若维持体积不变，将空气由0oC加热至20oC所需的热量。（ii）若维持压强不变，将空气由0oC加热至20oC所需的热量。（iii）若容器有裂缝，外界压强为1pn,使空气由0oC缓慢地加热至20oC所需的热量。解：1cal=4.2J所以1111238.0966KgcalKkgJcp(i)这是定容加热过程，定容热容量可以从定压热容量算出，.deg/169.041.1/238.0gcalCCpV27m3的空气，其质量可由它的密度算得：gM461048.3102700129.0考虑到热容量为常数，使温度由0oC升至20oC所需得热量20169.01048.3)(41221TTMCdTMCQVTTVV7即得JcalQV5510920.410176.1(ii)在定压加热过程中，).(937.6)(10658.120238.01048.3)(5412JcalTTMCQpp(iii)因为加热过程使缓慢得，所以假定容器内的压力保持1pn.本问题，空气的质量是改变的。在保持压力p和容积V不变的条件下加热时，在温度T下的质量M(T)可由物态方程)(为空气的平均分子量其中RTMpV确定之。设T1时，容器内的空气质量之为M1,则由11)(RTTMpV算得TTMTM11)(,所以2211211111()ln(1)TTPppTTTdTQMTCdTMTCMTCTT将T1=273K,T2=293K,M1Cp=Kcal/1029.83代入（1）式，即得JcalQ55310678.61060.1273293ln2731029.81.10抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强0p时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能U0之差为000VpUU，其中V0是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度与体积。解：(a)求解这个问题，首先要明确我们所讨论的热力学系统是什么。为此，可以设想：使一个装有不漏空气的无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热小匣相连。假定气缸所容空气的量，恰好为活门打开时进入该小匣内的那一部分空气的量。这样，原来在小气缸中，后来处于小匣内的那一部分空8气（为了方便，设恰为1mol空气），就是我们所讨论的热力学系统。系统的初态(0000;,,UpTV)和终态);,,(UpTV如图所示：当打开活门，有少量空气进入原来抽为真空的小匣，小气缸内的气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫使活塞向匣内推进。根据热力学第一定律，在此绝热过程中，有dVpdWdU0积分之，000000000VpdVpVdpUUVV(1)(b)由000000)()(,TCCRTTTCVpUUVpV得到即000TCTCTCTCVpVV从上式，得00TTCCTVp(2)(c)由于初态和终态的压力相等，故有0000pVRTpVRT和从以上两式，得到00TTVV(3)由(2)式知，(3)式可化为P0………………………………...………..………..……….………………………………………初态（V0,T0,p0;U0）终态（V,T,p;U）9000VTTVV(4)1.11满足CpVn的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为vnCnnC1证明：根据热力学第一定律，有pdVdTCdTCVn(1)利用理想气体的物态方程，可将CpVn化为11CTVn将上式微分，得pnRdTTnVdTdV)1()1((2)将(2)代入(1)式，得.111VVVnCnnCnCC1.12试证明：在某一过程中理想气体的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数.pnpnCCCCn假设气体的定压热容量和定容热容量是常数。证明：根据热力学第一定律pdVdTCdTCVn10由代入上式，得将有dTRdTVdppdVRTpV,,0)1(VdpRCCpdVRCCVnVn两边除以Pv，再经整理，得到.0CpVPDPVdVnn，经积分即得1.13声波在气体中的传播速度为sp假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量。试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及给出：)1(2u＋常量，12h＋常量证明：理想气体在准静态的绝热过程中，0VdVpdpCpV，经积分，得,从而得到VpVpS)((1)因为VM,所以MRTMpVMMVVpMVpVVppSSS222))(()()()(MRTpS)(，故RMaT2(2)对于理想气体，内能和焓分别为常数VCU，常数pCH(3)11把(2)中的T代入(3)式，并注意到/pVPVCCRCC和得单位质量的内能u和焓h为常数，)1(2au常数。12ah1.14大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间不断发生对流。由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。试计算大气温度随高度的变化率dzd