材料力学教案-第6章-弯曲应力

第6章弯曲应力教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导过程中所作的假设。掌握中性层、中性轴等基本概念和含义。弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。教学重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导；横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算；弯曲的强度计算；弯曲横截面上的剪应力。教学难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和结果以及弯曲中心的概念。教具：多媒体。教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。教学内容：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施。教学学时：6学时。教学提纲：6.1梁的纯弯曲1、几个基本概念（1）平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。怎样加载才能产生平面弯曲？若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在对称平面内，才能发生平面弯曲。若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。什么叫弯曲中心？当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。这样的特定点称为弯曲中心。关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图(a),(b),(c)所示。②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图(d)、(e)所示。③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图(e)、(f)所示。④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。（2）纯弯曲和横力弯曲平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲；如果梁的横截面上既有弯矩又有剪力，则这种弯曲称为横力弯曲。（3）中性层和中性轴弯曲时梁内既不伸长又不缩短的一层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。注意：中性层是对整个梁而言的；中性轴是对某个横截面而言的。中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。6.2纯弯曲时的正应力6.2.1几何方面1．实验观察（1）横截面m-m、n-n变形后仍为平面，且保持与纵向纤维垂直，只是面与面间相对转动了角度d。（2）凹面aa缩短，凸面bb伸长，其中长度不变的一层为中性层，它与横截面的交线称为中性轴。（3）中性轴以上横向伸长，而以下则横向缩短。mnaabbmbanba中性层yz(中性轴）2．假设（1）平面假设：变形前的横截面变形后仍为平面；（2）各纵向线段间无挤压，处于单向拉伸或单向压缩应力状态；（3）同一层线段的变形相同，故正应力s随高度改变，沿宽度不变。条件：（1）平面弯曲；（2）材料服从虎克定律，且拉伸和压缩时的弹性模量相同；（3）梁的尺寸不能太簿，否则会侧向失稳；（4）l/h≥5。3.几何关系变形前：ddxbb,变形后：dybb)(ydddy)(6.2.2物理方面：EyE6.3.3静力学方面：（1）AAydAEdAN0maxZmax即AzydAS0故中性轴z通过截面形心，且垂直于外力作用面；（2）AAyzydAEdAzM0即0AyzzydAI表明y、z轴为主轴；（3）MdAyEdAyMAAz2即MIEzzEIM1，其中zEI称为抗弯刚度。故zIMyyE，zIMymaxmax令maxyIWzz──称为抗弯截面模量（常用单位：mm3等）则zWMmax对矩形62bhWz圆形（实心）323dWza.正应力计算公式的说明：（1）受弯曲变形的梁，任一横截面上的弯矩M、惯矩Iz是常数，因此，与y成正比，沿高度按直线规律分布；（2）中性轴处=0，max产生在离中性轴最远的边缘上，计算时可取绝对值，然后按变形判断正负号；（3）若z为对称轴，则max=max；否则不同。b.曲率计算公式的说明：（1）曲率1表示梁的变形程度，1越小，变形就越小，此式是计算梁变形的基础；yzyzdAdA（2）抗弯刚度EI越大，1越小；c．zEIM1及zIMy的适用范围：（1）平面弯曲；（2）对Q≠0（横力弯曲）近似适用；（3）对无纵向对称面的纯弯曲，外力若作用在其中一形心主惯性平面内时适用；（4）平面假设成立时。6.3横力弯曲时的正应力6.3.1纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲ZIyM讨论：公式的适用条件（1）平面弯曲；（2）纯弯曲或l/h≥5的横力弯曲（σ，τ）（3）应力小于比例极限。6.3.2最大正应力zIyMmaxmaxmax引入记号：maxyIWzWMmaxmaxW——抗弯截面系数（m3）讨论：（1）等直梁而言σmax发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处ymax。（2）对于变截面梁不应只注意最大弯矩Mmax截面，而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数W两个因素。6.2.3强度条件][maxmaxWM（1）对抗拉抗压强度相同的材料，只要max即可（2）对抗拉、抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足：ccttmaxmax6.2.4强度计算（1）强度校核（2）设计截面尺寸：][maxMW（3）确定许用载荷：WM][max用教材上的例题进行讲解。6.4弯曲切应力SFM横力弯曲切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。6.4.1矩形截面梁（1）切应力的分布规律沿截面宽度均匀分布切应力平行的方向与剪力切应力假设SF当hb时，按上述假设得到的解答与精确解相比有足够的准确度。dmnmndd'mn（2）切应力沿截面高度的变化规律①从梁中取出dx段，而微段上无载荷作用。②截面上的σ和τ的分布如图③研究微块的平衡*1**12*ZAZAAZSIMMAyIMMAIyMMAFdddddd（a）式中：*1*AzAySd为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。同理，可得ZzAZAZAIMSAyIMAIMyAF**1*1*1ddd（b）考虑到微块顶面上相切的内力系的合力xbFSdd'（c）00'12SxFFFFd（d）式（a）、（b）、（c）代入式（d）0**xbSIMSIMMZzZdd（e）bISxMZZ*dd（d）∵SFxMdd∴bISFZ*ZS（f）由切应力互等定理，横截面上pq线处切应力为bISFZZS*（g）这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公式。④讨论：对矩形截面，如图：a.横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在切应力b.矩形截面如图1ybAddor2/2211*1*42hyAZyhbybyAySdd∴22242yhIFS说明切应力τ沿截面高度按抛物线规律变化。c.当2hy时，τ=0；当y=0时，ZSIhF82max。d.考虑到123bhIZ，bhFbhFSS5.123max最大切应力是平均应力的1.5倍。6.4.2工字形截面梁maxhh（1）计算表明：工字型截面梁上剪力FS的95～97%由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力两个假设均适用（τ方向与FS一致，设宽度均布），采用矩形截面方法可得：)4(2)2(21)2()]2(21[*22*yhbyhyhbyhyASz0*bISFZZS式中：2200202*428yhbhhbSZ22002020428yhbhhbbIFZS以y=0，20hy代入上式得，8820020maxhbbbhbIFZS882020minbhbhbIFZS∵b0b∴τmax≈τmin既然腹板几乎承担了全部的剪力，而剪力在腹板上又接近于均匀分布，于是用剪力除以腹板面积，就可近似地得到腹板上的剪力，于是近似认为：hbFS0max（2）翼缘中切应力分布比较复杂，且数量很小，无实际意义，不予讨论。（3）工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远，每一点的正应力都很大，所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板承担大部分剪力。6.4.3圆形及圆环形截面梁1、圆形截面不作详细讨论。最大切应力在中性轴上，此时，3422*maxRRSZb=2R44RIZAFRFSS34342max2、圆环形截面AFs2max6.4.4弯曲切应力的强度校核（1）强度条件bISFZZsmax*maxmax最大切应力发生于中性轴处，故*maxZS——中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩（2）细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。（3）只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核：①梁的跨度较短。②在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇大。③铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。④经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪切计算。6.5提高弯曲强度的措施弯曲正应力为控制梁的主要因素。由梁的强度条件][maxmaxWM可以看出，要提高梁的强度，可从两个方面来考虑。一是合理安排梁的受力情况以降低Mmax；二是采用合理截面形状，提高W。6.5.1合理安排梁的载荷和支座合理安排梁的受力情况，降低Mmax（1）合理布置梁的支座（2）合理布置载荷①载荷置于合理位置②将集中力分为较小的集中力③将集中力分为分布力如下图所示：6.5.2选择合理的截面形状由强度条件][maxmaxWM得WM][max，可见W越大，梁承受的弯矩就越大。1、矩形截面梁竖放：62bhW，由A=bh，用AWk1来衡量截面形状的合理性和经济性。hhAWk167.061平放：62hbW，由A=bh，bbAWk167.062显然：因为hb，故K1K2，所以，矩形截面梁竖放比平放要好。hhhh/hthhhbbh2、截面合理性，经济性用W/A比值来评价，引入K=W/A，K值越大截面越合理，详细情况见教材。3、从材料性能上看合理的截面形式应使材料的上、下边缘点的最大拉、压应力同时达到材料的容许应力。对塑性材料，其抗拉能力与抗压能力相同，中性轴应为截面的对称轴；对脆性材料，其抗拉能力比抗压能力弱，因此，中性轴应靠近截面受拉的一侧，即中性轴不再是对称轴。具体采用什么截面形式，除了考虑以上三方面外，还要综合考虑梁的用途及制造工艺。6.5.3等强度梁的概念1、等截面梁是按最大弯矩设计][maxMW，材料没有得到充分利用。2、等强度梁是按变截面设计][)()(xMxW3、等强度梁：如果使变截面梁各横截面上的最大正应力相等，且都等于许用应力，就成为等强度梁。等强度梁为变截面梁，各横截面上的最大正应力σmax都相等，且等于许用应力[σ]。][)()(maxxWxM4．举例图示受集中力作用的简支梁，若设计成等强度梁，截面为矩形。设高度h=常数，而宽度b为x的函数，即b=b(x)，则：解：（1）2)(FxxM，][2][)()(FxxMxW即：][26(2Fxhxb），所以2][3)(hFxxb（2）讨论①b(x)为x一次函数，直线变化当2][232/maxhFlblx时，②当x=0时，b（x）