初三数学技巧点的轨迹含答案

-1-一、点的轨迹1.（2016·青海西宁）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选：A．2.（2016·四川眉山）如图，已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是．【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．【解答】解：∵双曲线的图象关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，连接OC，如图所示，∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°，∴tan∠OAC==，∴OC=OA，-2-过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，∴△OFC∽△AEO，相似比，∴面积比，∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），∵点A在双曲线上，∴S△AEO=ab=，∴S△OFC=FC•OF=，∴设点C坐标为（x，y），∵点C在双曲线上，∴k=xy，∵点C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=﹣，故答案为：﹣3．3.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长。依题意画出图形，如图所示．此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4．所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如图所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2π×4=6π；4.（2014年山东烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．-3-【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．5．（2016·南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；（2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）②是否存在满足条件的点P，使得PC=21？请说明理由．【解答】（1）证明：如图一中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，==，∴∠PBC+∠PBA=90°∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°∴△BAP∽△BNA，∴=，∴=，∵AB=BC∴AN=AM．（2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．理由如图二中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，==，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°∴△BAP∽△BNA，∴=，∴=，∵AB=BC，∴AN=AM．-4-②这样的点P不存在．理由：假设PC=21，如图三中，以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆，CO==＞1+，∴两个圆外离，∴∠APB＜90°，这与AP⊥PB矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC=的点P不存在．6．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF.连结CF交BD于点G，连结BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．解：如解图，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG.在△ABE和△DCF中，∵AB＝CD，∠BAD＝∠CDA，AE＝DF，∴△ABE≌△DCF(SAS)．∴∠1＝∠2.在△ADG和△CDG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)．∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1＋∠BAH＝90°.∴∠AHB＝180°－90°＝90°.取AB的中点O，连结OH，OD，则OH＝AO＝12AB＝1.在Rt△AOD中，OD＝AO2＋AD2＝12＋22＝5，根据三角形的三边关系，OH＋DHOD，∴当O，D，H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD－OH＝5－1.7．（2016福建三明）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90，点P为射线BD，CE的交点.（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC=90时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.．(1)证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90，-5-∴AB=AC，AD=AE.∠DAB=90BAEEAC.∴△ADB≌△AEC.∴BD=CE.(2)解：①当点E在AB上时，BE=AB-AE=1.∵∠EAC=90，∴CE=225AEAC.同(1)可证△ADB≌△AEC.∴∠DBA=∠ECA.∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC.∴PBBEACCE.∴125PB.∴255PB.②当点E在BA延长线上时，BE=3.∵∠EAC=90，∴CE=225AEAC.同(1)可证△ADB≌△AEC.∴∠DBA=∠ECA.∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC.∴PBBEACCE.∴325PB.∴655PB.综上，255PB或655.(3)PB长的最小值是31，最大值是31.8.若点A的坐标为（m，1-2m），则点A不在第象限。9.如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中点．连接EG、FG．下列结论：①当点E为边AB的中点时，S△EFG=5；②MG=EF；③当AE=3时，FG=25；④若点E从点A运动到点B，则此过程中点P移动的距离为2．其中正确的结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个解：过M作MQ⊥BC于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=2，∠A=∠B=90°，∴∠A=∠B=∠BQM=90°，∴四边形ABQM数矩形，∴MQ=AB=2，∵E、M分别为AB、AD中点，∴AE=AM=1，AM=MD，由勾股定理得：EM=√12+12=√2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADF=90°，AB∥CD，∴∠AEM=∠DFM，∵在△AEM和△DFM中{∠A=∠MDF∠AEM=∠DFMAM=DM∴△AEM≌△DFM（AAS），∴EM=MF=√2，∴EF=2√2，∵四边形ABQM是矩形，∴∠AMQ=90°，∵∠EMG=90°，∴∠AME+∠EMQ=90°，∠EMQ+∠QMG=90°，∴∠AME=∠QMG，∵在△AME和△QGM中，∠A=∠MQG=90°，∠AME=∠QMG，∴△AME∽△QMG，∴AE/AM=QG/MQ=11，∴MQ=QG=2，在Rt△MQG中，由勾股定理得：MG=2√2，PEDCBAPEDCBA-6-∴S△EFG=1/2EF×MG=1×2√2×2√2=4，∴①错误；过E作EW⊥CD于W，∵MQ⊥BC，四边形ABCD是正方形，∴EW=AD=MQ=AB，∠MHE=90°，∵∠EMG=90°，∴∠MEG+∠EMH=90°，∠EMH+∠GMH=90°，∴∠MEH=∠QMG，∵在△FEW和△GMQ中{∠FEW=∠GMQEW=MQ∠EWF=∠MQG=90°，∴△FEW≌△GMQ（ASA），∴EF=MG，∴②正确；∵∠A=90°，AM=1，AE=√3，∴由勾股定理得：EM=2=FM，∴MG=EF=2+2=4，在Rt△FMG中，由勾股定理得：FG=√FM2+MG2=2√5，∴③正确；当E在A点时，P为正方形中心当E运动到B点时，P运动到P'，∵△ABM∽△MGB（已证），AM/AB=BM/MG=1/2，∵P为MQ的中点，P′为MG中点，∴PP′∥BC，∴∠MPP′=∠MQG=90°=∠BMG，∠MP′P=∠MGB，∴△MPP'∽△BMG，∴MP/PP′=MB/MG=1/2，∴PP'=2MP=2，∴④正确；即正确的有3个．故选C．10.(2014咸宁)如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【探究】（1）填空：当m=0时，OP=，PH=；当m=4时，OP=，PH=；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．解答：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．如图1，记PH与x轴交点为Q，-7-当m=0时，P（0，﹣1）．此时OP=1，PH=1．当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4，∴OP==5，PH=yP﹣（﹣2）=3﹣（﹣2）=5．（2）猜想：OP=PH．证明：过点P作PQ⊥x轴于Q，∵P在二次函数y=﹣1上，∴设P（m，﹣1），则PQ