精品讲义：解直角三角形上海版

-1-第二节解直角三角形§25.3解直角三角形教学目标(1)掌握在直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系；了解确定一个直角三角形和解直角三角形所需条件的一致性。(2)经历对满足什么条件可解直角三角形的问题分析过程，体会从一般到特殊的思考方法。(3)会解直角三角形；会选择合理的算法(包括使用计算器时，过程比较简单、误差较小等)。(4)在有关三角形的几何计算中，领会化归数学思想。教学重点归纳在直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系；引进解直角三角形的概念。知识概要1.直角三角形的边与角之间的关系：(1)两锐角互余：090BA；(2)三边满足勾股定理：222cba；(3)边与角的关系：caBAcossin，cbBAsincos，baBAcottan，abBAtancot。2.直角三角形除了直角之外的五个元素，只要知道一条边和一个锐角，或者知道两条边，就可以求其他元素。3.求直角三角形的边长和角度时，常会遇到近似计算，如不加说明，则边长保留四个有效数字，角度精确到1。4.在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。5.由直角三角形全等的判定定理可知，如果给定直角三角形的一条边和一个锐角，或者给定它的两条边，那么这个直角三角形的形状和大小就完全确定。解直角三角形所需要的条件，与确定一个直角三角形所需要的条件是一致的。解直角三角形问题有两种类型:(1)已知一条边和一个锐角；(2)已知两条边。6.解直角三角形时，一般应尽量使用题中所给数据，少用中间运算得到的数据，这样误差的累积影响较小。现在对任意三角形中的几何计算，常常把它化归为解直角三角形。经典题型解析(一)解直角三角形的两种类型例1.在ABCRt中，090C，根据下列条件解直角三角形：(1)63a，060B；(2)060A，33a。(3)26c，13a；(4)2AC，6BC。微课堂微信V:lmcai888168-2-随堂练习：在ABC中，090C，58AC，角平分线15316AD，解这个直角三角形。例2.在ABC中，15BC，8:7:ACAB，21cosC，求BC边上的高。随堂练习：如图，在ABC中，030A，23tanB，32AC，求AB。例3.在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且MBCNMB，求ABMtan的值。31随堂练习：在ABC中，已知D为AB中点，0135ACB，CDAC，求Asin的值。-3-例4.如图，在ABC中，0120B，D、E分别是AC、AB上的点，7AC，060EDC，BCAE，3143sinA，求DEBCS。随堂练习：在四边形ABCD中，已知4AB，2CD，060A，090DB，求该四边形的面积。(二)非直角三角形的转化求解例5.(2014奉贤一模)已知，如图，在ABC中，030A，045B，8AC，点P在线段AB上，连结CP，且43cotAPC。(1)求CP的长；(2)求BCP的正弦值。随堂练习：如图，在ABC中，5ACAB，6BC。求(1)ABCS；(2)BACsin。12,2524例6.在ABC中，045B，030C，324BC，求AB。62-4-随堂练习：在ABC中，6BC，36AC，030A，求AB的长。6或12例7.如图，在在ABC中，23AB，4AC，060A，求ABCS的值。随堂练习：如图，在ABC中，BCAD，垂足为D，4DCAD，34tanB。求：(1)ABC的面积；(2)BACsin的值。例8.在ABC中，8.0cosA，045B，三角形一边上的高是3，求BC的长。7215,718,23随堂练习：如图，等腰三角形ABC的周长为324，ACAB，030B，求三角形的三边长。例9.在等腰梯形ABCD中，BCAD//，045DBC。翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E。若2AD，8BC，求：(1)BE的长；(2)CDE的正切值。-5-随堂练习：如图，在ABC中，ACAB，54cosABC，点D在边BC上，6BD，ABCD。(1)求AB的长；(2)求ADC的正切值。巩固提升一、填空题1.在ABCRt中，090C，060A。若33ba，则a_________。2.(2015静安、黄埔一模)在ABCRt中，090C，点D是AB的中点，如果3BC，2CD，那么DCBcos________。3.在ABC中，090C，9AB，32cosA，把ABC绕着点C旋转，使得点A落在A，点B落在B。如果点A在边AB上，则点B、B的距离是_________。4.(2015金山一模)如图，在ABCRt中，090C，4AC，3BC，将ABC绕着点C旋转090，点A、B对应的点为D、E，那么ADEtan的值为_________。5.平行四边形ABCD中，两邻边分别为cm4和cm6，它们的夹角是060，则较短的对角线长为________cm．6.在ABC中，已知8AB，10AC。若ABC的面积等于320，则锐角A的正弦值是_________。7.在ABCRt中，090C，BCAC，若点O是ABC的重心，则OBCcos_________。8.已知在梯形ABCD中，BCAD//，15AB，13CD，8AD，B是锐角，54sinB，则BC_________。二、选择题9.在ABCRt中，090C，如果边2c，21tanA，那么b等于()A.55B.552C.553D.55410.如图，在ABCRt中，090C，D为BC上一点，030DAC，2BD，32AB，那么-6-AC的长是()A.3B.22C.3D.23311.在ABCRt中，090B，20AC，34tanA，下列各式中正确的是()A.16ABB.6.0sinAC.18BCD.75.0tanC12.若一个三角形的两边长分别为4、5，第三边上的高为3，则这个三角形的面积为()A.215B.)74(23C.6D.)74(2313.在ABC中，若22cosA，3tanB，则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形14.如图，在矩形ABCD中，ACDE于点E，设ADE，且53cos，4AB，则AD的长为()A.3B.320C.316D.516三、解答题15.如图，在四边形ABCD中，0135ABC，0120BCD，6AB，35BC，6CD，求AD。16.如图，在ABC中，ACAB，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E且DCAC。(1)求BAC的度数；(2)求证：点D是BC的黄金分割点；(3)利用这个图求036cos。17.已知，如图，在ABCRt中，090ACB，AD平分BAC，ABDE，垂足为点E，16AE，54sinB。(1)求BC的长；(2)求ADE的正切值。18.如图，已知在四边形ABCD中，090C，10ADAB，52cosABD，060BDC，求BC的长。(第18题)(第19题)(第20题)-7-19.如图，在ABCRt中，090ACB，32sinA，点D、E分别在AB、AC上，ACDE，垂足为点E，2DE，9DB，求：(1)BC的长；(2)BCDcos。20.如图，在四边形ABCD中，090ADCABC，0120BCD，2AD，31AB，求CD的长度。21.如图，在ABC中，090C，21tanA，DE是AB的垂直平分线，2BC。求：(1)求AEDsin的值；(2)CE的长。22.已知在ABCRt中，090A，55sinB，aBC，点D在边BC上，将这个三角形沿直线AD折叠，点C恰好落在边AB上，用a的代数式表示BD的长。※23.在边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且CEBE2，联结AE交射线DC于点F，若ABE沿直线AE翻折，点B落在点1B处，求1sinDAB的值。参考答案：1.32.433.544.1025.726.237.5528.229.D10.C11.D12.D13.A14.C15.19216.(1)0108(2)证：DBAABC~(3)41517.(1)12(2)318.3419.(1)8(2)7220.221.(1)552(2)2322.3223.135或53