第3章-微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、0lim()()xxxfxAfxA，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系2、=+()o，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0fafb(两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在，使得()0f4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]faABfb结论：对于任意min(,)max(,)ABCAB，一定在开区间(a,b)上存在，使得()fC。5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M和最小值m之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b)上存在，使得'()0f2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在，使得()()'()()fbfafba3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)gxxab结论：在开区间(a,b)上存在，使得()()'()()()'()fbfafgbgag拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：122()()-()1()mxfxfxmx；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]xx。5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种：000,,0*,,0,1,0每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。6、泰勒公式求极限。如果极限是0lim()xxfx那么就在0x附近展开。如果极限是lim()xfx，那么就变形成0lim()ttft，再在0t附近展开。一般都是化成0lim()tft用迈克劳林展开式展开。那么展开多少步呢？一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面如果展开后分子的结果为0，则还要继续往更高阶次展开。分母一定会跟着分子有同样阶的。。。算吧，很大的计算量。。。7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，且导数'()0(0)fx结论1：()fx在闭区间[a,b]上单增（单减）结论2：'()0fx或不存在则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点）方法一：条件：区间连续。结论：若1212()()()22xxfxfxf，则该曲线在(x1,x2)凹若1212()()()22xxfxfxf，则该曲线在(x1,x2)凸方法二：条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)存在一阶和二阶导数结论1：''()0fx在[a,b]凹；''()0fx在[a,b]凸；结论2：''()0fx或不存在则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。然后验证-''()''()fxfx、的符号。异号则一定为拐点。9．函数在区间上的极值点，最值点。定理1：极值点处的导数0'()0fx定理2：条件：()fx在0x点处连续，在0x附近的去心邻域内可导结论：00'()0,'()0fxfx则在0x点取得极大值。00'()0,'()0fxfx则在0x点取得极小值。若左右邻域内符号不变，则该点无极值。定理3：条件：()fx在0x点处的一阶导数0'()0fx结论：0''()0fx，则在0x点取得极小值。0''()0fx，则在0x点取得极小值。0''()=0fx,则该点可能是极值，也可能不是极值。总结：一阶导数就能得出极值点。二阶导数也能得出，但二阶导数有限制0'()0fx。最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区间最大值，最小值。10、曲率曲率定义是：dKds，曲率半径用a表示，是曲率的导数，即1aK。所谓曲率半径，是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的曲率都是K。如何推导曲率？课本典型题：2扩展三个定理的条件都是闭区间连续，开区间可导。然后罗尔定律是f(a)=f(b),结论是导数为0。拉格朗日中值定理结论是存在导数。柯西定理形象来说是拉格朗日中值定理的变形（见物理意义）。罗尔定理拉格朗日中值定理柯西定理微分中值定理这部分看起来特别重要。因为它涉及到几个定理。罗尔定理常用于以下几种题：1)('xf在（a，b）上是否存在零点？显然，只要找到)()(bfaf的a和b即可。找到了还能知道至少有几个零点，以及每个零点的区域。如已知)3)(2)(1()(xxxxf，说明0)('xf有几个实根？范围是什么？等。2证明)(xf在（a，b）上是否存在零点？注意1是)('xf是否存在零点。故可以求出dxxfxF)()(，这样就成了求)('xF在(a,b)上是否存在零点。和1一样的方法了。3证明)(xf的根不超过多少个。如证明其根不超过3个。那么，记住用反证法+罗尔定理。设根有四个，分别为x1x2x3x4。则由罗尔定理，)('xf肯定有三个不等的根，)(''xf有两个不等的根，)()3(xf有一个不等的根。但是算到)()3(xf时，结果却是无根。故假设错误，根不超过3个。拉格朗日中值定理常用于证明不等式：1证明),(),(),(baQbaFbaP，想办法把整个式子都变变形，最重要的是把),(baF变成两个同函数相减的方式，)()(afbf的形式，再用拉格朗日中值定理改为导数的形式与两端比较。柯西中值定理常用于证明不等式：1证明)()(xQxP方法：把原式转换成1)()(xGxF或1的形式。因为柯西中值定理实质是两个函数相除转换成导数相除，因此要想法给弄成除的形式。拉格朗日中值定理是弄成减的形式。然后证明一下两个导数相除大于或者小于1就行了证明函数恒等)()(xgxf，),(bax证明原则：1)(')('xgxf，),(bax【当然还有个条件就是f,g在(a,b)存在导数】2找到任意一点),(0bax，使得)()(00xgxf如果],[bax还需要验证],[)(),(baxgxf在连续2洛必达法则应用有两个条件①lim00lim)()(lim或者xgxf②A)(')('limxgxf，即必须存在结果，可以是无穷大，也可以是0等，但不能是诸如)1sin(lim0xAx之类的没具体的玩意。但是注意，如果用洛必达法则算出就是这类没具体的玩意，也不能证明该函数除法式无极限。只能证明洛必达法则此时适用性太小。3洛必达法则应用①求1的七种类型的未定式极限②确定无穷小的阶是多少K阶无穷小的定义：若0,0limkCk，则称β是α的K阶无穷小。无穷小阶的运算法则：设f(x)是x的n阶无穷小，g(x)是x的m阶无穷小，则有：f(x)+g(x)是x的min(n,m)阶无穷小f(x)*g(x)是x的n+m阶无穷小f(x)/g(x)是x的abs(n-m)阶无穷小这一节内容关于应用洛必达法则讨论极限的问题我学的很差。泰勒中值定理的来源想象：任何一个函数f(x)，在0点附近都可以曲线化直的表示成)(...)(2210xRnxbxbxbbxfnn用导数一算，恰好有!)0(...!2)0('',!1)0(',!0)0()(210nfbfbfbfbnn故在0x点处可得泰勒展开公式：（前提：f(x)在含0x的某个开区间（a,b）上具有（n+1）阶的导数，这样才能得到拉格朗日余项）)()(!)(...)(!2)())((')()(00)(200''000xRnxxnxfxxxfxxxfxfxfnn当n=0时，))((')()(00xxfxfxf其中))(('0xxf是n=0时的拉格朗日余项拉格朗日余项为：),(,)()!1()()(Rn010)1(xxxxnfxnn换成表示为：)1,0(),(00xxx这样表示很常见（不要求精确时）可使用佩亚诺余项：])[()(Rn0nxxox（注意：不是拉格朗日余项的n+1次方）最开始推导时，x在0处的仿f（x）多项式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的简单形式。使用迈克劳林公式时，对应拉格朗日余项可以改为)1,0(,)!1()()(Rn1)1(nnxnxfx但是注意这仅是迈克劳林时用。故可以不记这个特殊形式的式子。只记基本的式子佩亚诺余项x0=0即可。※常用的麦克劳林公式（泰勒公式涉及大量运算，而却常考这几个式子的变形）)!12()1(...!5!3sin12153nxxxxxnn)(Rn2x显然n从1开始)()!2()1(...!4!21cos12242xRnxxxxnnn显然n从0开始)()1(...432)1ln(1432xRnnxxxxxxnn显然n从1开始...!3)2)(1(!2)1(1132xxxx）（)(R!)1)...(2)(1(xnxnnn显然n从0开始)(!...!212xRnnxxxenx麦克劳林展开式比较容易，可以现用现推导大体记一下，然后根据推出的前两个值就能想到全部的结论。一般第二个值如果是负的，就说明会有（-1）^（k+1）次方等注意。扩展：本节课的“泰勒公式（及其扩展公式）”可以做什么？1对00型的函数式，可以用泰勒公式求极限，还可以用来确定无穷小的阶。①设0)()(limlimxgxfaxax，并有泰勒公式：))(()()(nnaxoaxAxf，其中ax，A为非零常数))(()()(mmaxoaxBxg，其中ax，B为非零常数mnmnmnBAxgxfax,,0,)()(lim　　　　　　　，显然这个得零是因为f比g更快趋近于0而已求极限的情况一般都是两个无关的函数相减。如cosx-ln(1+x)啊，cosx-e^x啊，很多式子还伴随的是除法形式，因为这样能将多余的无穷小系数给约为0.举例中的x是bx，x^t的变形式。②若求得泰勒公式))(()()(nnaxoaxAxf，则x→a时，f(x)是x-a的n阶无穷小2由泰勒公式求)(0)(xfn其实就是将)(xf用泰勒公式展开后得到第n阶的通项公式，显然为!)(!0)(nxxfnxAnnnn,因此)(0)(xfn显然值为nA导出即可。注意的是，有时候并不能得出)(0)(xfn。而是其他形式，如展开式n阶通项为!!)1(2nxAnxnnnn，显然结果是!)1()!2()0()2(nnfnn。得出的结果奇形怪状的都有，有些n是从3,开始的，这时候就还得考虑()''(),'ff等。因此也要注意考虑n。3由)(xf含佩亚诺余项的泰勒公式可以得到)()(mxfbxf，的含佩亚诺余项的泰勒公式，其中b为常数，m为自然数，只需令mxtbxt,即可。显然在佩亚诺余项上)()(mxfbxf，可以随意换项。4在求)()(xgxf的三阶麦克劳林式时，显然分别展开3阶的结果为)()(xgxf=(0A+x