利用导数研究函数的图像-曲线的绘制

第四节利用导数研究函数的图像—曲线的绘制主要内容：一、函数的凸凹性二、利用导数绘制函数的图像在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形.本节将研究这个问题.一、曲线弯曲方向—凹凸性观察右图：xyo)(xfy)0(fx当从小变大时，也从小变大.()xfx()fx的图像为凹弧单调增加()fx切线的斜率越来越大二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧；二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二阶导数为零，且两侧异号，是拐点.观察右图：xyo)(xfy)0(fx()xfx当从小变大时，从大变小.()fx的图像为凸弧单调减少()fx切线的斜率越来越小例判断曲线的凹凸性31.yx解当时，0x当时，0x[0,)曲线在为凹的.(0,0).注意到点是曲线由凸变凹的分界点(,0]曲线在为凸的；23,yx6,yx:(,).D0,y0,y拐点凸弧分界点凹弧3yx(),,().yfxPPLLyfx当曲线上的一动点沿着曲线移向无穷点时如果点到某定直线的距离趋向于那么直线就称为曲线的一条定义零渐近线二、利用导数绘制函数的图像、曲线的渐近线1曲线的渐近线铅直渐近线水平渐近线斜渐近线()x垂直于轴的铅渐近线渐近线直如果或那么就是的一条铅直渐近线000lim()lim()().xxxxfxfxxxyfx水平渐近线平行于轴的渐近线()x如果或为常数那么就是的一条水平渐近线lim()lim()()().xxfxbfxbbybyfx例如有两条铅直渐近线1(2)(3)2,3.yxxxx两条铅直渐近线有两条水平渐近线arctan,.22yxyyππ如果或为常数那么就是的一条斜渐近线lim[()()]0lim[()()]0(,)().xxfxaxbfxaxbabyaxbyfx斜渐近线求法:()lim,lim[()].xxfxafxaxbx即为曲线的一条斜渐近线().yaxbyfx斜渐近线()lim()lim,lim[()],().xxxfxxfxaxfxaxyfx注意：如果不存在，或存在但不存在可以断定不存在斜渐近线例求曲线的渐近线2(2)(3)2().1xxfxx解函数的定义域为:(,1)(1,),D112(2)(3)lim()lim,1xxxxfxx曲线的渐近线铅直渐近线水平渐近线斜渐近线提示与分析：定义域不存在的点自变量趋向无穷远处，函数的极限斜渐近线与水平渐近线不会同时出现112(2)(3)lim()lim.1xxxxfxx2(2)(3)lim[2]1xxxxx2(2)(3)2(1)lim1xxxxxx又()limxfxx.1x是曲线的铅直渐近线24.yx是曲线一条斜渐近线的2(2)(3)lim(1)xxxxx2,4,通分412lim1xxx的两条渐近线如图2(2)(3)()1xxfxx、利用导数绘制函数的图像2图形描绘的步骤：(1)(2)(3)(4)确定函数的定义域；考察函数的对称性、周期性；求函数的间断点、、不可导点，把定义域分成若干个子区间；列表讨论函数在各个凸驻子区间内的增减性、性，判断极值点凹点和拐点；确定曲线的渐近线；求曲线上的一些辅助点，比如与坐标轴的交点；根据以上讨论，从左到右，把曲线上的特殊点用平滑曲线连接起来，完成作图(5)(6)(7).()x()0,0,xx驻点令得例作函数e的图形23().xx解定义域为:(,),D函数为偶函数，令得特殊点()0,22,22.xxx只需做的函数图像，(0,)()xe22,xxe2()xee22224.xxxe2(2)xx复合函数求导e得水平渐近线2lim()lim0,.0xxxxy列表确定单调区间、凹凸区间及极值、拐点.x()x()x()x002极大值12(0,)2220拐点e21(,)22(,)2凸凹eeee222222()2,()242(21).xxxxxxxxxxyo22221三、应用举例这是一道关于最大、最小值的应用题.例已知某厂生产件产品的成本为元，问：若使平均成本最小，应该生产多少件产品？若产品以每件元售出，要使利润最大，应该生产多少件产品？24()25000200()40(1)(2)500xxCxx先建立目标函数，然后再用求最值的方法求出未知量.提示与分析：解由得2(1)()25000200,40xCxxd因而dCx平均成本250()2000040xCxx()225000,140x舍去d令得d0,Cx故生产件产品可使平均成本最小1000.或10001000.xx唯一驻点利润函数(2)()Lxd由得d30006000,20Lxxx故生产件产品，可使利润最大6000.2(25000200)40xx500x总收入成本唯一驻点函数的增减性最值问题例心理学研究表明，小学生对概念的接受能力即学习兴趣、注意力、理解力的某种量度随时间的变化规律为问为何值时学生学习兴趣增加或减退？何时学习兴趣最大？25()()0.12.643[0,30].GtGttttt解()0.22.60.2(13),Gttt所以是的最大值13().xGt13..可见讲课开始后第分钟时小学生兴趣最大在此时刻之前学习兴趣递增，在此时刻之后学习兴趣递减由，得()013.Gtt当时单调增加；13,()0,()tGtGt当时单调减少.13,()0,()tGtGt唯一驻点学习兴趣增加学习兴趣减少13t学习兴趣最大