概率论-随机变量的函数及其分布

下回停二、离散型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布第三节随机变量的函数及其分布(1)(单个随机变量的函数的分布)一、问题的提出一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.例如，已知圆柱截面直径d的分布.4π2的分布求截面面积dA已知t=t0时刻噪声电压V的分布t0t0求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.下面我们分离散型和连续型两种情况进行讨论.如何根据已知的随机变量X的分布求得随机变量Y=f(X)的分布？二、离散型随机变量的函数的分布问题设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数，若随机变量Y随着X取x的值而取y=f(x)，则称随机变量Y为随机变量X的函数，记为Y=f(X).例1设离散型随机变量X的分布律213161303XP求Y=X-1的分布律.解Y的可能取值为－4，－1，2.61}3{}4{XPYP31}0{}1{XPYP21}3{}2{XPYP故Y的分布律为213161214YP由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布律Xkpkxxx21kppp21.,)(合并应将相应的中有值相同的若kkpxf)(XfYkp)()()(kxfxfxf21kppp21)(XfYX函数是离散型随机变量，其如果的分布律为若也是离散型随机变量，X的分布律为则)(XfY例2Xkp211616263设解Xkp21161626352XY441+Y的分布律为Yp412121.52的分布律求XY三、连续型随机变量的函数的分布的概率密度为设随机变量X.,0,40,)(8其它xxpxX,是连续型随机变量设X)(XfY1.分布函数法)(:yFY先求).()(:yFypYY再求例3.82的概率密度求随机变量XY下面给出两种方法来求Y的概率密度函数1º先求Y=2X+8的分布函数).(yFY}{)(yYPyFY}82{yXP解xxpyXd)(28}28{yXP)()(yFypYY2º由分布函数求概率密度.]d)([28xxpyX)28)(28(yypX21)28(ypX.,0,4280,21)28(81其它yy21)28()(ypypXY.,0,40,8)(其它xxxpX.,0,168,328其它yy的定义域，是的反函数是其中)(),(,)()(11yfxfyf定理(例2.18)2.公式法.0)(,])([,0)(,])([])([111时当时当xfyfxfyfyf),(xpXX具有概率密度设随机变量）上可导，在（又设函数其中baxfx,)(.是连则或恒有且恒有)(),0)((0)(XfYxfxf密度为续型随机变量，其概率.,0,,])([)]([)(11其它yyfyfpypXY证,0)(xf若单调增加，且其反函数则)(xfy.),()(1上单调增加在yfx时，当y;0}{)(yYPyFY时，当y;1}{)(yYPyFY.0d)(d)(yyFypYY时，当y}{)(yYPyFY}{}{yYPYP}{)(yYPyFY}{0yYP于是)}({1yfXP)(1d)(yfXxxp)(}{)(yyYPyFY)(1d)()(yfXYxxpyF)(yyyFypYYd)(d)(ydd]d)([)(1yfXxxp])([)]([11yfyfpX.0)(的情形可作类似的证明对于xf时，当y证X的概率密度为.,eπ21)(222)(xσxpσμxX,)(baxxfy设,)(1abyyfx得.01])([1ayf知例4的线性函数试证明设随机变量XNX),,(~2也服从正态分布)0(abaXY222)(eπ211σμabyσa.,eπ2122)(2)]([yσaaσaμby.),(1)(abyabypaypXY的概率密度为得baXY))(,(~2aσbaμNbaXY得])([)]([)(11yfyfpypXY由公式.e),1,0(~的密度函数求设XYUX解)1,0(~UX的密度函数为X).1,0(,0),1,0(,1)(xxxpX方法1(公式法)上可导，单调增加在),(exy,ln)(1yyfxyyf1])([1例5)(ypY.0,0,])([)]([11其他，yyfyfpX.,0,1)(0,])([111其他yfyf.,0,1ln0,11其他yy.,0e,1,1其他yy方法2(分布函数法)}{)(yYPyFY}{eyPX.0},ln{,0),(yyXPyP.0,d)(,0,0lnyxxpyyXyXxxpylnd)(0时，当.1ln,d)(,1ln0,d)(,0ln,01lnyxxpyxxpyXyX.1ln,d)(,1ln0,d)(,0ln,010ln0yxxpyxxpyXyX.1ln,d1,1ln0,d1,0ln,010ln0yxyxyy.e,1e,1,ln,1,0yyyy)(yFY.e,1e,1,ln,10,0,0,0yyyyyyyFypYYd)(d)(从而.,0e,1,1其他yy.,0,10,1)(其他xxpX）上为严增函数其，在区间（因为104/π)(2xxgy解例6求圆的面积的密度函数.密度函数为所以圆面反函数为,π/1)(,π/4)(yyhyyhx的而，则圆的面积设圆的直径为XXYX,4/π2的密度函数为积4/π2XY设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布.,0,4/π0,π1其他yy.,0,4/π0|,π/1|)π/4()(其他yyypypXY是严格分布函数设随机变量)(xFX证是分布函数)(xF单调不减且)(,1)(0xFxF严格单调增加又知依题意，)(xFR,y故}{)(yYPyFY})({yXFP例8]1,0[)(在证明：单调的连续函数，试XFY.上服从均匀分布.1,1,10)},({,0,01yyyFXPy}{)(yYPyFY})({yXFP.1),(,10},)({,0),(yPyyXFPyP.1,1,10)],([,0,01yyyFFy.1,1,10,,0,0yyyy])([)(yFypYY.,0,10,1其他y.]10[)(上的均匀分布，服从即XFY1.离散型随机变量的函数的分布)(XfYkp)()()(kxfxfxf21kppp21的分布律为则)(XfY的分布律为若也是离散型随机变量其函数是离散型随机变量如果XXfYX.)(,内容小结Xkpkxxx21kppp21.,)(合并应将相应的中有值相同的若kkpxf2.连续型随机变量的函数的分布方法1.)()(d)(})({}{)()(的密度函数求导得到再对YyFxxxpyXfPyYPyFYyxfXY方法2.,,,])([)]([)(其它011yyfyfpypXY注意条件.答：思考题是离散型随机变量是连续函数，若设Xxf)(是连续？若也是离散型随机变量吗则XXfY)(型的又怎样？的取值是有限个是离散型随机变量，它若X的取值也是有限个或可或可列无限多个，因此Y是是离散型随机变量，若列无限多个，因此XY.量不一定是连续型随机变连续型随机变量，那么Y.,0,20,21)(其他xxp.21,1,10,)(xxxxfy又设连续函数:)()(可以计算出来的分布函数则yFXfYY密度为上服从均匀分布，概率在设)2,0(X例如;0}{)(,0yYPyFyY时当;1}{)(,1yYPyFyY时当})({}{)(,10yXfPyYPyFyY时当.2d21d)(yxxxpyy],1,0[的取值为由于Y所以,.1,110,2,0,0)(yyyyYFYY的分布函数为故不是连续型随处间断，故在因为)(1)(XfYyyFY)()(XfYyFY不是阶梯函数，故机变量，又因为.也不是离散型随机变量解备用题例2-1求圆周长Y1和圆面积Y2的分布列.分布列为的值均不相等,不需合并.各自和的函数，都是和21221ππ2YYXXYXY为随机变量其分径测量一类圆形物体的半X13121110kPX2.03.04.01.02YkPπ169π144π121π1002.03.04.01.0kP1Yπ26π24π22π202.03.04.01.0所以Y1的分布列分Y2的分布列为解故可取值的函数是.5,3,10,),5,100(~2XYNX)(Φ1}115{}5{5100115XPYP,0013.0)3(Φ1}115100{}3{XPYP例2-2服从N(100,52)工程队规定:若工程在100天内完工可获奖金10万元;在100~115天内完工可获奖金3万元;超过115天完工,罚款5万元,求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布列.设某工程队完成某项工程所需时间X(天)近似)(Φ}100{}10{5100100XPYP5000.0)0(,4987.0)0(Φ)3(Φ所以所获奖金Y的分布列为故从本例得知,连续型随机变量的函数也可以是Y离散型的.kP10355000.04987.00013.0)(Φ)(Φ51001005100115例2-3xxpxx,ee1π2)(.0,1,0,1)(xxxg当当解5.0)1()0()0()1(YPXPXPYP所以Y的分布列为Y-11P0.50.5由此可得已知随机变量Ｘ的密度函数为的概率密度，其中试求随机变量)(XgY所以为偶函数因为,)(xp5.0)0()0(XPXP}{)(yYPyFY}{2yXP}{yXyP)()(yFyFXX解,2分布函数先求随机变量XY)0(时当y例5-1的概率密度为设随机变量X.0e,0,0)(,32xxxxpxX.322的概率密度和求随机变量XYXY.d)(d)(xxpxxpyXyX)()(yFypYY))(())((yypyypXXyyyy210e)(212)(3.0,0,0,2eyyyy再由分布函数求概率密度..0,e,0,0)(23xxxxpxX当Y=2X+3时,有32xy,23yx]d)([)()(23yXyYxxpyFyp.3,0,3,)23()23(2)23(3yyyeyy.3,0,3,e)23(212)23(3yyyy