等比数列教案

等比数列教案一、教材分析“等比数列”是中职数学教材第五章第三节，在此之前，学生已学习了等差数列,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是《数列》这一章中两个最重要的数列之一，因此，在《数列》一章中，占据重要的地位。主要内容是等比数列的概念及通项公式，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如存款利息、购房贷款、等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想，同时，也能大大培养学生的探索精神和参与意识，有助于将课堂教学向以学生为主体，教师为主导的方向推进。二、学情分析：由于前面已经讲过等差数列，学生对数列的只是已经有所了解，但是大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学习积极性不高。三、教学目标1、知识目标：使学生理解等比数列的概念，掌握其通项公式，并能运用定义及其通项公式解决一些简单的实际问题。2、能力目标：培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力（即归纳、猜想能力），方程的思想，计算能力。3、情感目标：通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识。四、教学重点、难点1、重点：理解等比数列的定义及通项公式，关键是讲清“等比”的特点。2、难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决简单问题五、教学过程＜一＞创设情境国王奖赏国际象棋发明者的事例：发明者要求：在第１个方格放一颗麦粒，在第２个方格放２颗麦粒，在第３个方格上放４颗麦粒，在第４个方格上放８颗麦粒，以此类推，直到第64个方格，国王能否满足他的要求呢？师问：这个事例可以转化为什么样的数学问题？生：可以与数列联系起来（有了等差数列的基础，学生比较容易想到）师：根据各个方格的麦粒数，我们可以得到什么样的数列呢？生：棋盘上的麦粒数构成的数列为：1,2,4,8,16,32,64，…263.【设计意图】设计意图：通过趣味性的典故，体会故事中用麦粒填充象棋盘的空格，从前后两格麦粒粒数及所有空格麦粒粒数的变化情况，来引导学生提高学生的学习兴趣，激发学生发现等比数列。师：我们再来观察这几个数列，1、2，4，8，16，……①5、25、125、625、……②1、-1/2、1/4、-1/8……③2，2，2，2，2，……④师问：以上4个数列是够有功合同和特点？若有，试说出它们的共同特征？生：从第二项起，每一项与它前面的一项的比都等于同一个常数（观察数列，找共同特征）师：像①②③④这样的数列和等差数列一样，是一类很重要的的数列，能否试着给这样的数列取个名字呢？生：等比数列。师：那么究竟什么样的数列才称为等比数列呢？师生共同总结定义定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q表示。（q≠0）【设计意图:】由学生通过“观察、分析、归纳”尝试得出等比数列的定义，并与等差数列的定义进行比较，而通过对公比q的范围的具体分析，有利于学生对等比数列的掌握，同时为后面等比数列的通项埋下了伏笔。＜二＞巩固练习：提出问题指出下列数列是不是等比数列？(1)2,4,16,64,…(2)16,8,1,2,0,…(3)2,-2,2,-2,2(4)1,1,1,1,1（5）a,a,a,a,a,…【设计意图】：进一步巩固等比数列的定义教师提出问题：思考一：等比数列的每一项和公比是否能为零?思考二：从第三项或第四项起的每一项与它的前一项之比是同一个常数，这个数列是否是等比数列？思考三：常数项是否一定是等比数列？教师强调注意事项：1.由于等比数列的每一项都可能作为分母，所以每一项均不能为零，因此q也不能为零2.如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列3.常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列。若常数项各项都为0，则它不是等比数列；当常数列各项都不为0时，它才是等比数列【设计意图:】目的在于让学生通过问题自主思考，加深对等比数列定义的掌握.实际应用案例：案例一：变形虫分裂问题如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数案例二：退耕还林问题西部地区的环境问题正引起越来越广泛的关注，其中一个重要的举措即是退耕还林。王师傅是当地一名热心群众，退休后，他决心用一个月的时间做下面的事：第一天，他自己种一棵树；第二天，他发动两个人和他一起每人种一棵树；第三天，这三个人每人再发动两个人加入他们的行列，每人种一棵树。如此继续，记录下每天他们种的树的棵树便得到一列数。【设计意图】通过具体的实例使学生进一步巩固等比数列的定义，激起学生的好奇心，也容易让学生接纳，激发学生求知欲望，并且积极思考。＜三＞探索问题等比数列的通项公式：法一：不完全归纳法等差数列等比数列daa12daa213类比daa314……由此归纳等差数列由此归纳等比数列的通项公式可得得的通项公式可得：dnaan)1(1时上面等式也成立均不为零，当与其中11nqa【设计意图】：类比等差数列的不完全归纳法，进而归纳得到等比数列的通项公式法二：累加法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa11nnqaa【设计意图：】类比等差数列求通项公式的方法，通过叠乘法得到等比数列的通项公式。同时也渗透方程思想，可“知三求一”。培养学生不断探究，归纳总结的能力。＜四＞例题分析例1.一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．【设计意图】:目的在于巩固等比数列的通项公式例2：袁隆平在培育某水稻新品种时，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代可以得到这个新品种的种子多少粒？（结果保留两位有效数字）【设计意图】利用多媒体先介绍一下世界杂交水稻之父—袁隆平，展示袁隆平的照片，引起学生的好奇心，通过对实际问题的解决使学生进一步熟悉公式，加强学生的应用意识，同时对这节课的难点在这里得到完全解决。巩固练习：1、求下列等比数列的第4项与第6项：⑴5，-15，45…….⑵1，2，4…..2、⑴一个等比数列的第4项是7，公比1/2，求它的第一项；⑵一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。3、已知等比数列的｛an｝得a2=2,a5=54,求q【设计意图】：现学现用，让学生有发表见解的机会，巩固所学知识。等比中项：与等差中项类似，在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。师问：思考一:2,-6之间是否存在等比中项？思考二：1和4的等比中项是什么？思考三：若G2=ab,则G是否一定是a与b的等比中项？【设计意图】：让学生通过思考自主探究出等比中项的注意事项：1.G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项。2.等比中项有两个，切互为相反数。当G2=ab时，G不一定是a与b的等差中项。＜五＞课堂小结1、等比数列的定义及其通项公式2、等比数列通项公式的应用3、在发现等比数列的定义及其通项公式过程中用了观察、归纳、猜想等数学方法，体现了由特殊到一般的数学思想，在判断数列是否是等比数列时运用了分类讨论思想。4、等比中项5、等差数列与等比数列的对比数列等差数列等比数列abG定义daannn1,2)0(,21qqaannn公差（比）公差d∈R公比q≠0通项公式dnaan)1(111nnqaa引申dmnaamn)(mnmnqaa【设计意图】:巩固本节课所学内容，突出重点，让学生能在思维中形成主线，思路清晰。＜六＞作业及思考题1、课本P144练习A第1、2、4题。2、对照等差数列，试猜想等比数列的一些相应的性质。3、探究活动：①一位数学家曾经说过，你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。②一尺之棰，日取其半，万世不竭【设计意图】：根据学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，达到“温故而知新”的效果，又使学有余力的学生有所提高。