第三章-能带理论-1

第三章能带论-I能带的概念、形成近自由电子近似紧束缚近似前面讨论了晶体离子——晶格的排列本章讨论晶体中价电子的性质价电子的运动受到多种因素的影响：1)与离子的作用；2)与其他电子的作用。o这是复杂的多体问题（量子多体）只能依赖专门的计算理论与高速计算机，能带计算本身是一项很专业的科研工作。o在本科的固体物理学，使用初等量子力学，了解能带的形成机制。o重点是理解导体、绝缘体、半导体的本质快速浏览1.初识能带2.能带的成因3.能带的重要意义4.能带理论的发展5.能带的近似理论一、初识能带经典理论：连续能量量子理论：量子化能级（分立）准连续能级一、初识能带当原子结合成固体，形成带状能级－能带大量能级形成准连续的带，带间可能有间隔（带隙）能带同时具有分立、连续的能量特点Band-1Band-2Band-3BandgapBandgap二、能带的成因反对称，反键态，能量高对称，成键态，能量低1221ba,221A,221S2二、能带的成因二、能带的成因1s2p2s分裂2分裂N原子分子晶体一般地，形成固体时，原子轨道能级展开成一个能带二、能带的成因P146,图7－5三、能带的重要意义固体的导电性质，主要是能带结构决定，而不是由电子的多少决定。能带是分析新材料、设计新器件的基础－能带工程能带的概念被推广到固体中光、声的传播（1987光子晶体、声子晶体）k能带理论是凝聚态物理中最重要的部分四、能带理论的发展1900,Drude建立金属自由电子气体模型，解释金属的电导、热导；1928，Sommerfeld引入Fermi-Dirac统计（量子），解释电子的热容量等。固体的能带理论的建立：1928，F.Bloch应用量子理论研究固体的电子运动，提出Bloch定理，奠定了现代量子固体物理的基础。1931年，A.H.Wilson依据能带理论，成功地解释了金属、绝缘体和半导体的差别（定性研究）。Kokn,物理学家、1998年诺贝尔化学奖1964,W.Kohn等建立密度泛函理论，借助与计算机，能够定量计算高分子、纳米材料、介观器件等。（精确计算）五、能带的近似理论1)Born——Oppenheimer绝热近似认为离子实是静止不动的理由之一：原子振动相对于原子间距是很小的，5%，所以电子感觉到晶格的畸变很小(正常态）；理由之二：原子质量大，相对与电子的运动速度慢。能带论是一种近似理论，主要有三个假设（近似）：五、能带的近似理论2）单电子近似其他电子的影响忽略，或归结到势场。理由：由于泡利不相容原理，两电子间的平均距离较大。3)周期场近似离子实或其他电子的作用归结为一个周期性势场：)()(nRrVrV五、能带的近似理论)()(rErH)()()(222rErrVm本章下面的内容主要讨论这种单电子Schordinger方程的求解方法——初等量子力学能带问题简化为“单电子在周期场”的运动§3-1布洛赫定理及能带Next:怎样求解周期场中的Schordinger方程•1925－1926，Heisenberg，Schordinger等人建立量子力学的矩阵力学形式和波动力学形式。1946年他和汉森、帕卡德一起研究发展核感应原理，即用原子核感应的方法测量由于原子核磁矩旋所感应的电动势，提出核磁共振技术，和E.M.Purcell获得1952年诺贝尔物理学奖。在Heisenberg的建议下，Bloch应用量子力学研究固体中的电子问题。他从电子在周期性离子间运动的图像出发，得出固体中电子运动的波函数的一般形式（Bloch波函数），这一理论为现代固体理论奠定了基础（1928）一、Bloch定理（1）在周期性势场中运动的电子的波函数可写成布洛赫波的形式：u是晶格的周期函数：)()(ruerrki)()(ruRrun布洛赫波是平面波与周期函数的乘积，或：振幅受周期性调制的平面波。这样的电子也称为Bloch电子（区别与自由电子）：它的波幅从一个原胞到另一个原胞时发生周期性变化。Bloch电子在整个晶体中运动，也称晶体电子。一、Bloch定理（2）单电子在等效周期势中运动时，波函数形式为：即：平移晶格矢量Rn时，波函数只增加一个相因子)()(reRrnRkinnRkie在一维情况下被称为Floquet定理，因为Floquet首先证明了一维情况。一、Bloch定理（证明）)()(nRrVrV)()(nRrHrH)()()(rErrH)()()(nnnRrERrRrH)()()(nnRrERrrH)()(rRrnRn由归一性：根据关系：选取线性关系：12nRnnRRiexpmnmnRRRRnRRKn)()(reRrnRkin证毕一、Bloch定理（证明）二、K的值及物理意义电子波选取周期性边界（同晶格振动）根据Bloch波：)()()()(332211NrNrNrr1nRkie2)(332211hNNNkGkn可以取：根据周期性，可以把li限制在第一布里渊区：K态在第一BLZ均匀分布，总数为N,密度为：),,(332211333222111NlNlNlbNlbNlbNlk2,,12,2iiiNNN33)2(Vl为整数二、K的值及物理意义二、K的值及物理意义K的意义：K是Bloch波的波矢，但hK并不是电子的动量。hK被称为“晶体动量”，K是描述电子状态的一个量子数。思考复习1.简单说明原子的能级与固体能带间的联系2.什么是Born——Oppenheimer绝热近似？解释该近似的根据。3.能带论的单电子近似采用哪些近似？4.简述布洛赫定理。试说明电子布洛赫波的意义。5.证明：Bloch电子波的波矢hK不是动量算符的本征值。三、一维电子：空格子模型本征波矢：布里渊区：LxLxxxV0,0,0,)(22LlaNlbNlk,2,,,2,,aaaaaak一维无限深势阱本征能特点：E与P2/k2成正比不形成能带2222222lmLhmkElkE0a2aaa23.2弱周期势近似实际晶格中，势能是周期性变化的，若势能起伏不太大取平均势势的起伏用微扰论处理（周期性微扰）一、模型和微扰计算周期势：1.零级近似：)()(laxVxVLxVLxxxV0,,0,)(V)()(2000222xExVdtdm零阶解：解为平面波——因为忽略了晶格势的变化Bloch波也是平面波，但波幅周期性变化整数:,2lNalklVmkEk2220ikxkeLx1)(0补充：Dirac符号波函数（态）正交归一性左矢00~)(kxk右矢00~)*(kxk'000'0'~)(*)(kkkkNakkdxxx2.微扰计算微扰哈密顿：能量一级微扰：)()('xVVxVHkxVkEk)()1(能量二级微扰：'0'02)2()('kkkkEEkxVkE波函数一级微扰：0''0'0)1()('kkkkkEEkxVk3.计算矩阵元对每个元胞，令：kxVkkxVkHkk)(')(''LxkkidxxVeLkxVk0)'()(1)('annaxkkiNndxxVeNa)1()'(10)(1nax表示在V的作用下，电子从k到k’态的几率akkiNnnakkiakkiNnnakkidVeaeNdVeeNakxVk0)'(10)'(0)'(10)'()(11)(1)('①lGlbalkk2'11110210)'(NnnilNnnakkieNeN其中：②ankk2'akkiNakkiNnnakkieeNeN)'()'(10)'(111112)'()22'()'(lliNaNalNaliNakkieee干涉相消②alkk2'•综合：只有当k’与k相差整数个倒格子时，即：微扰结果：波长相差nb的态有作用，差别越大，影响越小。nGnbkk'naaniVdVeakxVk02)(1)('0)1(VEknnkankkmVE2222)2(22k1k1k2k1V1V2V4.布里渊边界处的态当时，k=nπ/a上面的微扰计算不适用如k=π/a和k’=-π/a是简并的即：在布里渊区边界的态，要考虑简并问题考虑两个态：)1(2')1(anankkankanan类似于两个波形成共价键的处理方法：可解出：当△→0时：00'kkba2200'00'421nkkkkVEEEEE121222nnnnnnnnnnVTTVTVVTTVTVE结论：在布里渊边界，发生“能级的排斥”二、能带和能隙1.能带和能隙自由电子能量（空盒子模型）受到周期性势的作用。k远离nπ/a处的态（λ=na)受到的影响较小；在nπ/a处的态影响很显著，E(k)断开形成突变。nV22.简约波矢（区）第一能带称为简约区，相应的波矢为简约波矢这些态形成一些（准）连续的能级—能带能带间的能量差——能隙。电子不能以能隙中的能量存在。k第m个带（不含简约区）的波矢makk2可以把各个带的态都在简约区内表示。Ek§4-3三维周期场中电子运动的近自由电子近似一维的讨论可以推广到二维、三维一、模型)()()(/222rErrVm)()(nRrVrV0—级近似空盒子模型rkikeLr1)(0VmkEk2220333222111bNlbNlbNlkl补充——从原子到分子单原子：)(11xxVV)(xVx2x1x)(22xxVV)()(2111222xxxxVdxdmiii)()(2222222xxxxVdxdmiii,2,1iDirac符号波函数：右矢左矢2~)*(,1~)*(2~)(,1~)(2121iiiiiiiixxxxxxxx正交归一性：1|~)(*)(imimimmdxxxxx本征方程：iiimmmH结合成分子，电子在两势阱中隧穿，在每个原子中都有出现的几率：本征方程：)()()(2211xxcxxcxiii)()(22)(22122221222222xxVxxVdxdmVVdxdmxVdxdmHxExHiii)()()()(22112211xxcxxcExxHcxxHciiii)()()()(2)(11111112221xxVxxxxxxVxVxxxxVdxdmxxHiiiiii同样：)()()(2222xxVxxxxHiiii所以：0)()(222111xxcVExxcVEiiii左乘，积分：)(1*xxi0)()()()(2221*1111*