论文-椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用江西省上犹中学刘鹏关键词：椭圆焦点弦弦长公式应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即212=1ABkxx或者2112=1+()kAByy，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cosabABac，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222byax，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点2F交椭圆于1122(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.椭圆方程12222byax可化为0222222bayaxb……①，直线l过右焦点，则可以假设直线为：xmyc(斜率不存在即为0m时)，代入①得：222222222()20bmaymcbybcab，整理得，222224()20bmaymcbyb∴2412122222222,mcbbyyyybmabma，∴2424222221122222222222244(1)=1+()1()1()kmcbbabmAByymmbmabmabma∴2222221abABmbma（1）若直线l的倾斜角为，且不为90,则1tanm，则有：2222222222221111tantanababABmbmaba,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cosabABac……②.（2）若=90，则0m，带入2222221abABmbma,得通径长为22ba，同样满足②式.并且由222232222222222222222222()222()2()21=22ababmaaabaabaabbABmaabmabmabmaaa,当且仅当0m即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为ab22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cosabABac.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222byax，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点2F交椭圆于1122(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.解：如右图所示，连结11,FAFB，设22=,FAxFBy，假设直线的倾斜角为，则由椭圆定义可得11=2,2FAaxFBay，在12AFF中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4cxaxcx，化简可得2cosbxac，在12BFF中，由余弦定理同理可得2cosbyac，则弦长2222222=coscoscosbbabABxyacacac.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222byax，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点2F交椭圆于1122(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.解：由解法一知22212121222222222=()22mcbacxxmycmycmyyccbmabma.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,FAaexFBaex故222221212222222222(1)=2()abmababmABaexaexaexxbmabma后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222byax，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点2F交椭圆于1122(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.解：利用仿射性，可做如下变换''xxayyb，则原椭圆变为222(')(')xya，这是一个以原点为圆心，a为半径的圆.假设原直线的斜率为k，则变换后斜率为akb.椭圆中弦长212=1ABkxx，经过变换后变为212''1()aABkxxb，带入，得变换前后弦长关系为22221=''bkABABbak……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()aykxcb，圆心到直线的距离为21()akcbdakb，根据半径为a，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akcabkbABaakbakb，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=bkbkabkabkABABbakbakbakbak，由tank，带入得22222cosabABac.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cosabABac，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521xy，过椭圆焦点且斜率为3的直线交椭圆于,AB两点，求AB.分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3abc，,带入22222cosabABac得=10AB.例2已知点3(1,)2P在椭圆C：22221(0)xyabab上，过椭圆C的右焦点2(1,0)F的直线l与椭圆C交于,MN两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNABP，2ABWMN,试判断W是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单.解：（1）由题知1c，将点P带入得221914ab，又222abc，解得224,3ab，故椭圆方程为22143xy.（2）假设(,)Amn，则222ABmn，设倾斜角为，则22cosmmn，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos12()4abmnMNmacmnmn，故222=443ABmnWMN（）=4.例3如图，已知椭圆22143xy的左右焦点为12,FF，过2F的直线1l交椭圆于,AC两点，过1F的直线2l交椭圆于,BD两点，12,ll交于点P(P在x轴下方)，且1234FPF，求四边形ABCD的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234FPF的点P在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l的倾斜角为,则2l的倾斜角为3+4，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cosAC,2124cos()4BD，221221212=2244cos4cos()4SACBD,设22()(4cos)(4cos())4f71714971(cos2)(sin2)sin2+cos2+sin42222448（）设sin2cos2(2,2)tt，则2sin41t,带入得24971()+(1)448fttt即21797()848ftttmin99142()8ft,此时2t，即sin2cos22，得到=8.综上，四边形ABCD的最大值为2882=5.1499142S.此时=8，得到2l的倾斜角为78,刚好两直线关于y轴对称，如右图所示.