可线性化的一元非线性回归讲解

前一节，我们学习了一元线性回归分析问题，在实际应用中，有些变量之间并不是线性相关关系，但可以经过适当的变换，把非线性回归问题转化为线性回归问题。可线性化的一元非线性回归常见的几种变换形式：1、双曲线1bayx11,yxyxyabx令2、幂函数曲线byaxln,ln,lnyyxxaayabx令化非线性回归为线性回归变形lnlnlnyabx3、指数函数曲线bxyaeln,lnyyaayabx令变形lnlnyabx4、负指数函数曲线bxyae1ln,,lnyyxaaxyabx令化非线性回归为线性回归变形lnlnbyax5、对数函数曲线lnyabxlnxxyabx令6、S型（Logistic）曲线1xKyAeln,lnKyyaAyyax令化非线性回归为线性回归变形(1)xxyAeKyAyeKlnlnxKyKyAeAxyy例1测定某肉鸡的生长过程，每两周记录一次鸡的重量，数据如下表x/周2468101214y/kg0.30.861.732.22.472.672.8由经验知鸡的生长曲线为Logistic曲线，且极限生长量为k=2.827，试求y对x的回归曲线方程。解由题设可建立鸡重y与时间x的相关关系为2.8271xyAe2.827ln,lnyyaAyyax令则有列表计算序号xyy'X2y'2xy'120.32.13144.5414.262240.860.827160.6843.309361.73-0.456360.208-2.733482.2-1.255641.576-10.0425102.47-1.9341003.741-19.3426122.67-2.8341448.029-34.0037142.8-4.64219621.544-64.9825613.03-8.16256040.323-123.531所以8.00x1.166y112xxL30.807yyL58.236xyL0.519967xyxxLL2.993762ayx19.96063aAe所以所求曲线方程为0.519972.827119.9606xye上机操作输入原始数据上机操作计算2.827*lnyyy上机操作上机操作上机操作是y*，而不是y自变量上机操作回归方程，还要回代系数多重回归分析在实际问题中，自变量的个数可能多于一个，随机变量y与多个可控变量x1,x2,x3,…,xk之间是否存在相关关系，则属于多重（元）回归问题。本节讨论多重线性回归。多重线性回归模型随机变量与之间的线性关系y12,,,kxxx01122kkyxxx(1)其中2~0,N012,k,,,,未知则（1）式称为多重线性回归模型。多重线性回归模型若对变量与分别作n次观测，则可得一个容量为n的子样y12,,,kxxx01122iiikikiyxxx(2)其中2~0,,(1,2,,)iNin012k,,,,为待定参数，称为回归系数。（2）式含有k+1个参数，故观测次数应满足nk+1。12,,,,,1,2,,iiikixxxyin则有多重线性回归模型的矩阵形式记12nyyYy111212122212111kknnnkxxxxxxXxxx01k12ne则（2）有矩阵形式YXe2~0,eNE其中确定的最小二乘法考虑多元函数20111niikikiQyxx目标：确定使最小01,,,kQ方法：0,1,2,,iQik解得01122kkyxxx——多重线性回归方程线性回归方程的有效性检验——方差分析法012:0kH线性回归方程是否有统计意义，可检验假设01122kkyxxx是否成立方法：方差分析法，将总离差平方和分解222111nnnTiiiiiiiSSyyyyyyRESSSS线性回归方程的有效性检验——方差分析法21nRiiSSyy21nEiiiSSyy——回归平方和，反映线性关系对观测结果产生的数据波动，SSR越大，线性相关关系越强。——剩余平方和（或残差平方和），反映除线性因素之外的其它因素对观测结果产生的数据波动，SSE越大，则其它因素对Y的影响越大。线性回归方程的有效性检验——方差分析法22~1TSSn在H0成立的条件下，可以证明：22~RSSk22~1ESSnk（n为观测次数，k为自变量个数）构造F统计量~,11RESSkFFknkSSnk当时，拒绝H0。,1FFknk回归系数的统计检验回归方程的有效性检验，只是解决了与之间是否有线性相关关系，至于变量对的影响是否有统计意义，无从看出，因此，还需对回归系数是否为0作统计检验。y12,,,kxxxixyi提出假设01:0;:0iiHH如果H0成立，可以证明统计量~1(1)iiiETtnkCSSnk当时，拒绝H0。21Ttnk2(1)1niikikCx利用回归方程作预测及控制对于给定的12,,,kxxx001122kkyxxx点估计值置信水平为的预测区间为1102000011TTESSytXXXXnk例2某种水泥在凝固时放出的热量Y（cal/g）与水泥中下列4种化学成分有关：123:3axcoAlo的成分（%）22:3axcoSio的成分（%）32323:4axcoAloFeo的成分（%）42:2axcoSio的成分（%）现记录了13组观测数据，列在下表中，试求对的线性回归方程。y12,,xx34,xx11223344yabxbxbxbx编号X1(%)X2(%)X3(%)X4(%)Y(cal/g）172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4上机操作因变量自变量线性方程是有效的线性回归方程