模糊数学课件(清晰易懂)

12模糊数学绪论2•产生1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)•基本思想用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。如某员工属于优秀的程度为0.6,属于良好的程度为0.2，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度为0.1。3模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支•涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；•模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论4模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离屏幕的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时，每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松软可口。5下面我们正式走进模糊的世界6一、经典集合与模糊集合模糊集合.uAA.uAuAu非此及彼7亦此亦彼UA模糊集合,~A元素x若x位于A的内部，则用1来记录，若x位于A的外部，则用0来记录，若x一部分位于A的内部，一部分位于A的外部，则用x位于A内部的长度来表示x对于A的隶属程度。8定义：设U是论域，称映射]1,0[)(],1,0[:~~xxUAA确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函~A~A~A数，称为对的隶属程度，简称隶属度。)(~xAx~A)(~xA越接近于0,表示x隶属于A的程度越小；)(~xA越接近于1,表示x隶属于A的程度越大；)(~xA＝0.5,最具有模糊性，过渡点9模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211这里表示对模糊集A的隶属度是。iixxA)(ix)(ixA10（3）向量表示法))(,),(),((21nxAxAxAA（2）序偶表示法))}(,(,)),(,()),(,{(2211nnxAxxAxxAxA若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：UxxxAA)(11例1.有100名消费者，对5种商品评价，结果为：54321,,,,xxxxx81人认为x1质量好，53人认为x2质量好，所有人认为x3质量好，没有人认为x4质量好，24人认为x5质量好则模糊集A（质量好）5432124.00153.081.0xxxxxA12例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…札德给出了“年老”集函数刻画:10050))550(1(5000)(12uuuuO10U5010013再如，Y=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：10025))525(1(2501)(12uuuuY1050U14二、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：UxxBxABA),()(包含：UxxBxABA),()(并：UxxBxAxBA),()())((交：UxxBxAxBA),()())((补：UxxAxAc),(1)(表示取大；表示取小。模糊集合的运算16并交余计算的性质1.幂等律,,AAAAAA2.交换律,,ABBAABBA3.结合律CBACBACBACBA)()(,)()(4.吸收律(),()AABAAABA176.0-1律AUAUUAAAA,,,7.还原律,)(AAcc8.对偶律,)(,)(ccccccABBABABA5.分配律)()()(),()()(CABACBACABACBA18三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合;*A（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使对A的隶属关系是不确定的。0u19特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出nAuAu的次数的隶属频率对*00（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的次数*00lim)(0u对A的隶属度：20对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间，18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-28问年龄27属于模糊集A（青年人）的隶属度。0u21对年龄27作出如下的统计处理：A(27)=0.78n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101隶属频率0.780.760.760.750.790.78222、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。偏小型：适合描述“小”“少”“冷”“浅”“疏”“青年”等偏大型：适合描述“大”“多”“热”“深”“密”“老年”等中间型：适合描述“中”“不太多”“不太深”“不太浓”“暖和”“中年”等处于中间状态的模糊现象。23常用的模糊分布24253、其它方法德尔菲法：专家评分法；（1）选择专家；（2）确定影响债权价值的因素，设计价值分析对象征询意见表；（3）向专家提供债权背景资料，以匿名方式征询专家意见；（4）对专家意见进行分析汇总，将统计结果反馈给专家；（5）专家根据反馈结果修正自己的意见；（6）经过多轮匿名征询和意见反馈，形成最终分析结论。26四、模糊关系与模糊矩阵1.模糊关系的定义所谓A，B两集合的直积中的一个模糊关系R，是指以为论域的一个模糊子集，序偶的隶属度为一般地，若论域为n个集合的直积，则它所对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时，模糊关系就退化为普通关系。BbAabaBA,),(BA),(ba。),(baRnAAA21),,,(21nRaaa27假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相似程度给出一个0~1之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下R苹果x1乒乓球x2书x3篮球x4花x5桃x6菱形x7苹果x11.00.700.70.50.60乒乓球x20.71.000.90.40.50书x3001.00000.1篮球x40.70.901.00.40.50花x50.50.400.41.00.40桃x60.60.500.50.41.00菱形x7000.10001.0设有七种物品：苹果、乒球、书、篮球、花，桃、菱形组成的一个论域U，并设x1,x2···x7分别为这些物品的代号，则现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。721,,,xxxU28四、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。,10,)(ijnmijrrR当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。ijr当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，nnijrR)(ijr称R为模糊单位矩阵。例如：3.07.05.01.001R000000000029（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA)(,)(相等：ijijbaBA包含：ijijbaBA并：nmijijbaBA)(交：nmijijbaBA)(余：nmijcaA)1(31（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaAnmijcBA)(为A与B的合成，其中。即：定义：设A为阶，则模糊方阵的幂定义为nn1()sijikkjkcab1()sijikkjkCABcabAAAAAAAAAnn1232,,,32例5：则设,6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.05.01.04.0BA3.03.06.05.0BA5.05.04.03.03.03.02.02.01.0AB33（3）模糊矩阵的转置定义：设称为A的,)(nmijaAnmTijTaA)(转置矩阵，其中。jiTijaa性质：.)(1AATT;)(;)(2TTTTTTBABABABA.)()(;)(3nTTnTTTAAABBA.)()(4cTTcAA.5TTBABA34（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称,)(nmijaA],1,0[nmijaA)()(为模糊矩阵A的截矩阵，其中ijijijaaa,0,1)(显然，截矩阵为Boole矩阵。35例6：则设,18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.01A11001100001100115.0A11001100001000018.0A时的截矩阵为8.0,5.036截矩阵的性质：],1,0[性质1..BABA性质2..,BABABABA性质3..BABA性质4..)(TTAA37（5）特殊的模糊矩阵定义：若模糊方阵满足,IA则称A为自反矩阵。例如15.02.01A,1001I是模糊自反矩阵。定义：若模糊方阵满足,AAT则称A为对称矩阵。例如12.02.01A是模糊对称矩阵。38定义：若模糊方阵满足,2AA则称A为模糊传递矩阵。例如,1.0002.01.003.02.01.0A是模糊传递矩阵。1.0001.01.002.01.01.02AA39模糊聚类分析一、基本概念及定理定义：设nnijrR)(是n阶模糊方阵，I是n阶单位方阵，若R满足（1）自反性：(1);iiIRr（2）对称性：);(jiijTrrRR（3）传递性：);}1)max{((2ijkjikrnkrrRR则称R为模糊等价矩阵。40模糊聚类分析定理：R是n阶模糊等价矩阵],1,0[R是等价的Boole矩阵。意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当λ在[0,1]上变动时，由得到不同的分类。R41定理：设R是n阶模糊等价矩阵，则,10R所决定的分类中的每一个类是R所决定的分类中的某个子类。该定理表明，当时，R的分类是R分类的加细，当由1变到0时，R的分类由细变粗，形成一个动态的聚类图。模糊聚类分析42例6：设对于模糊等价矩阵},,,,,{54321xxxxxU16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01