全国中等职业技术学校通用教材-数学(上)-4

第4章解析几何（一）4.1平面向量4.2直线与方程4.3圆的方程4.1平面向量飞机的位移正步走平面向量的概念数学上将类似位移、速度等既有大小又有方向的量称为向量；将类似长度、质量等只有大小没有方向的量称为数量。通常用带箭头的线段来表示向量，箭头的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小。向量也可以用字母a、b、c等表示。模为零的向量称为零向量，记作0。零向量的方向是任意的。长度为1个单位的向量叫做单位向量，常用i、j、k等表示。向量的大小也称为向量的模，向量、a、的模依次记作||、|a|、||。ABaABa我们把方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。例如图中向量a、b、c是一组平行的向量，记作a∥b∥c。我们规定：零向量与任何一个向量平行。在平行向量中，大小相等、方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b相等记作a=b。与非零向量a大小相等且方向相反的向量叫做a的负向量。向量b是a的负向量记作b＝－a。平行向量都可以被移到同一条直线上。所以，我们也将平行向量称为共线向量。例题解析解例1如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向量、相等的向量。ABADABDCADBC例2如图所示，在平行四边形ABCD中，找出向量、的负向量。ABAD解ABBACDADDACB例3如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向量、共线的非零向量。ABAD解与向量共线的向量有、、；ABBADCCD与向量共线的向量有、、。ADDABCCB单击鼠标继续D、E、F分别是△ABC中的边AB、AC、BC的中点，找出与向量相等、相反、共线的非零向量。BF平面向量的加减运算我们把位移叫做位移与的和，记作向量加法的规律：当被加向量与加向量首尾相接时，它们的和等于被加向量的起点到加向量的终点形成的向量，即ACABBCABBCAC通常，已知向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和向量，记作a＋b，即ABBCACabABBCAC这种规定向量加法的法则叫做三角形法则。ABBCAC例题解析例ABCD是平行四边形，求作。解ABAD因为，所以ADBCABADABBCAC本例中的、的和正好是以向量、为邻边的平行四边形的对角线AC表示的向量。这种求作不共线的两个向量和的方法叫做平行四边形法则。ABADABAD单击鼠标继续向量加法满足下列运算律：1．a＋b＝b＋a2．a＋0＝0＋a＝a3．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)一般地，我们规定：a－b＝a＋(－b)即，向量a减b规定为向量a加上b的负向量。由向量减法的定义，起点相同的两个向量和的差向量应为上述推导表明：起点相同的两个向量的差等于减向量的终点到被减向量的终点形成的向量，即向量的减法运算OAOB()OAOBOAOBOABOBOOABAOAOBBA例题解析解例已知平行四边形ABCD，用向量、表示、、。ABADBDCACDBDADABABADCABABCABADCDBAAB单击鼠标继续1．不画图，写出下列向量的和向量：2．如图所示，由给定的向量a、b，分别用三角形法则和平行四边形法则求作a＋b。3．不画图，写出下列向量的差向量：4．在三角形ABC中，用向量、表示向量、。NLMNMQPMOBAOCBACOPOMABACEFFDABACBCCB数乘向量FFFF车受到的拉力是F＋F＋F＋F则我们把F＋F＋F＋F记作4F。可以看出，向量4F的方向与F的方向相同，向量4F的长度是F的长度的4倍，即|4F|＝4|F|作出OAABBCCDFODOAABBCCDF+F+F+F一般地，任意实数λ与向量a的乘积λa是一个向量，它的模|λa|等于|λ||a|。当λ＞0时，它的方向与a的方向相同；当λ＜0时，它的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0。例如，向量－4a的长度是4|a|，方向与向量a相反。由此可知，λa与a是共线向量。对任意向量a、b，设λ、μ为实数，则有1．λ(μa)＝（λμ）a2．(λ＋μ)a＝λa＋μa3．λ(a＋b)＝λa＋λb例题解析例1计算下列各式：（1）4(a＋b)－2(a－b)－2a（2）2(a＋2b＋c)－(3a＋2b－c)解（1）4(a＋b)－2(a－b)－2a＝4a＋4b－2a＋2b－2a＝6b（2）2(a＋2b＋c)－(3a＋2b－c)＝2a＋4b＋2c－3a－2b＋c＝－a＋2b＋3c单击鼠标继续例2D是三角形ABC中BC边上的中点，用向量、表示向量。解ABACAD11()2211112222ADACCDACCBACABACACABACABAC单击鼠标继续1．计算下列各式：（1）2(－a－2b)＋(5a＋2b)（2）3(2a＋b－2c)－5(a＋2b＋c)2．D、E是三角形ABC中AB、AC边的中点，用向量、表示向量。ABACAD平面向量的直角坐标及运算用坐标表示起点为原点的平面向量有一向量，起点O在坐标系的原点，终点A的坐标是（4，3）。i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量。则＝4i，＝3j由向量加法的平行四边形法则可知我们把有序数对（4，3）叫做向量的直角坐标，记作。OMON43OAOMONij(43)OA，　一般地，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j，则对平面内任一向量a，都有唯一一对实数x、y，使得a＝xi＋yj我们把有序数对（x，y）叫做向量a的直角坐标，记作a＝（x，y）用向量的坐标进行向量的运算在平面直角坐标系中，已知a＝（x1、y1）、b＝（x2、y2）则a＋b＝（x1i＋y1j）＋（x2i＋y2j）＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j＝（x1＋x2，y1＋y2）类似可得a－b＝（x1－x2，y1－y2）λa＝（λx1，λy1）由此，我们得到：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。实数λ与向量a的积λa的坐标等于λ乘以向量a的相应坐标。任意向量的坐标表示设任意向量的起点A的坐标为（x1，y1），终点B坐标为（x2，y2），则＝（x1，y1），＝（x2，y2）由于，所以的坐标为（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）由此，我们得到：任意向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标。ABOAOBABOBOAAB例题解析例1设a＝(1，2)，b＝(－5，3)，求a＋b，a－b，3a－2b的坐标。解a＋b＝(1，2)＋(－5，3)＝(－4，5)a－b＝(1，2)－(－5，3)＝(6，－1)3a－2b＝3(1，2)－2(－5，3)＝(3，6)－(－10，6)＝(13，0)单击鼠标继续例2设点A(2，－5)，点B(－3，4)，求、的坐标。解ABBAAB的坐标是(－3，4)－(2，－5)＝(－3－2，4－(－5))＝(－5，9)因为，所以，的坐标是(5，－9)。BAABBA例3已知点A(2，3)，＝(－1，5)，求点B的坐标。AB解设点B的坐标为(xB，yB)。因为(xB，yB)－(2，3)＝(－1，5)，所以点B的坐标为(xB，yB)＝(－1，5)＋(2，3)＝(1，8)单击鼠标继续1．写出下列向量的坐标表示a＝－i＋2jb＝2i－4jc＝3j2．已知a＝(－2，3)，b＝(3，4)，求：a＋ba－b2a＋3b4a－5b3．已知A(3，－4)、B(－2，3)，求、的坐标。4．已知点B(3，－2)，＝(－2，4)，求点A的坐标。ABBAAB向量的数量积由物理学知识可知，推车做的功Ｗ等于力F在小推车位移方向上的分量|F|cos30°与小推车移动的距离｜s｜的乘积Ｗ＝|F|cos30°|s|＝|F||s|cos30°我们把|F||s|cos30°叫做向量F和s的数量积。对任意非零向量a、b，它们的夹角为θ（θ∈[0，π]），我们把|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ重要性质：1．a·a＝|a||a|cos0°＝|a|2，即有2．对于非零向量a、b，当a⊥b时，有a·b＝0；反之，当a·b＝0时，则有a⊥b。3．对任意向量a、b、c和实数m，有a·b＝b·a（ma）·b＝m（a·b）（a＋c）·b＝a·b＋c·b||aaa例题解析例已知|a|＝5，|b|＝6，a与b的夹角为60°，求：a·b（a－2b）·（a＋3b）解a·b＝|a||b|cos60°＝5×6×0.5＝15（a－2b）·（a＋3b）＝a·a＋a·3b－2b·a－2b·3b＝a·a＋a·b－6b·b＝|a|2＋a·b－6|b|2＝52＋15－6×62＝－176单击鼠标继续在平面直角坐标系中，设非零向量a为(x1，y1)，b为(x2，y2)，在x轴上的单位向量为i，在y轴上的单位向量为j，则有|i|＝1，|j|＝1，i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0，j·i＝0，a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋y1x2j·i＋y1y2j·j＝x1x2|i|2＋y1y2|j|2＝x1x2＋y1y2即a·b＝x1x2＋y1y2（1）式（1）叫做平面向量的数量积公式。推论：设a＝(x，y)，则a2＝a·a=xx＋yy=x2+y2，所以（2）22||xyaaa如果向量a是用起点A(x1，y1)和终点B(x2，y2)表示的，则向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)，从而点A到点B的距离为（3）式（3）可用来计算平面上任意两点之间的距离。AB222121||||()()ABABxxyy例题解析例1已知a＝(3，－2)，b＝(－4，5)，求a·b。解a·b＝3×(－4)＋(－2)×5＝－12－10＝－22例2已知点A(3，4)，求点A到坐标原点的距离。解22||345AO例3已知点A(－2，3)、B(3，5)，求|AB|。解2222||[3(2)](53)5229AB单击鼠标继续例4判断下列各对平面向量是否垂直。（1）a＝（4，－2），b＝（－1，－2）（2）a＝（－3，2），b＝（－1，2）解（1）a·b＝4×(－1)＋(－2)×(－2)＝－4＋4＝0所以，a⊥b。（2）a·b＝(－3)×(－1)＋2×2＝3＋4＝7≠0所以，a与b不垂直。单击鼠标继续1．已知||＝5，||＝6，与的夹角θ＝30°，求·。2．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为30°，求a·b，（a＋b）·b，（a＋2b）·（a－4b）3．已知a＝（－2，4），b＝（－3，3），求a·b。4．判断下列各对平面向量是否垂直。（1）a＝（6，3），b＝（－2，4）（2）a＝（4，－2），b＝（－1，2）ABACABACABAC4.2任意角的三角函数知道一点和一个方向，就可以确定一条直线。直线的倾斜角和斜率直线l向上的方向和x轴的正方向所成的最小正角α叫做直线l的倾斜角。规定，当直线l和x轴平行或重合时，α＝0°。倾斜角α的取值范围是[0°，180°)。当倾斜角α≠90°时，我们一般使用倾斜角的正切表示直线的方向，以便建立直线方程。我们把倾斜角α的正切tanα叫做直线l的斜率。直线l的斜率常用k表示．即k＝tanα当倾斜角α＝90°时，直线l没有斜率，而是与y轴平行或重合。此时，直线l上的横坐标都相同。在平面直角坐标系中，如果已知两点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，那么，M1、M2就确定了一条直线M1M2，当直线M1M2的倾斜角不等于90°时，可以求出经过已知两点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)的直线M1M2的斜率，即k＝（x1≠x2）上式叫做斜率公式，用于已知直线上两点，求直线的斜率。1212xxyy例题解析例已知直线l经过两点M1(2，9)、M2(－5，2)，求直线l的斜率k和倾斜角α。解由直线l过点M1(2，9)、M2(－5，2)可知x1＝2，y1＝9，x2＝－5，y2＝2代入斜率公式，得即tanα