空间向量及其加减运算

在必修4中，我们已经学习了平面向量，你还知道下列几个问题是怎么定义的吗？(1)什么叫向量？(2)什么是向量的长度(或模)?(3)什么叫零向量、单位向量、相反向量、相等向量？(4)向量的表示方法有哪些？复习回顾:思考:在空间中，上述问题又是如何定义的呢？1．空间向量定义在空间，把具有和的量叫做空间向量长度向量的叫做向量的长度或.表示法几何表示法空间向量用表示字母表示法大小方向大小有向线段模用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作AB→，其模记为|a|或|AB→|.2.几类特殊向量(1)零向量：的向量叫做零向量，记为0.(2)单位向量：的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向且模的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a长度而方向的向量，称为a的相反向量，记为－a.长度为0模为1相同相等相等相反3．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB→＝OA→＋AB→＝；CA→＝OA→－OC→＝.加法运算律(1)交换律：a＋b＝；(2)结合律：(a＋b)＋c＝.a＋ba－bb＋a(a＋c)＋b1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则D1B→等于()A．a＋b－cB．a＋b＋cC．a－b－cD．－a＋b＋c解析：D1B→＝D1D→＋DA→＋AB→＝－c－b＋a.答案：C2．在平面向量中，下列说法正确的是()A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C．如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：根据两个向量相等的定义可知，选项D正确．答案：D3．如图所示，a，b是两个空间向量，且面ABC∥面A′B′C′，AA′＝BB′＝CC′，则AC→与A′C′→是________向量，AB→与B′A′→是________向量．答案：相等相反4.如图所示，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列表达式．(1)AB→＋BB′→－D′A′→＋D′D→－BC→；(2)AC′→－AC→＋AD→－AA′→.解析：(1)AB→＋BB′→－D′A′→＋D′D→－BC→＝AB→＋BB′→＋A′D′→＋D′D→－BC→＝AB→＋(BB′→＋D′D→)＋(A′D′→－BC→)＝AB→.(2)AC′→－AC→＋AD→－AA′→＝CC′→＋A′D→＝DD′→＋A′D→＝A′D′→.给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1→；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[解题过程]题号正误原因分析①×当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等不一定起点相同，终点相同②×向量相等的定义，模相等，而且方向相同③√④√由向量平行(共线)的性质可知⑤×空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AC→与A1C1→方向相同，模也相等，必有AC→＝A1C1→答案：C1.下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB→＋AD→＝AC→答案：B如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量表达式：(1)AA1→－CB→；(2)AB1→＋B1C1→＋C1D1→；(3)12AD→＋12AB→－12A1A→.[解题过程](1)AA1→－CB→＝AA1→＋BC→＝AA1→＋A1D1→＝AD1→.(2)AB1→＋B1C1→＋C1D1→＝AD1→.(3)设M是线段AC1的中点，则12AD→＋12AB→－12A1A→＝12AD→＋12AB→＋12AA1→＝12(AD→＋AB→＋AA1→)＝12AC1→.[题后感悟]如何化简向量表达式？(1)化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简．(2)在化简过程中遇到减法时，可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可以相互转化．(3)化简中常用的化简形式为AB→＋BC→＝AC→，AB→－AC→＝CB→.2.已知空间四边形ABCD，点M、N分别是边AB、CD的中点，化简AC→＋AD→－AB→.解析：如图所示，因为点M、N分别是边AB、CD的中点，所以AC→＋AD→－AB→＝2AN→－2AM→＝2MN→.证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处相互平分．[规范作答]证明：如图所示，平行六面体ABCD－A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，则AO→＝12AC′→＝12(AB→＋AD→＋AA′→).设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．则AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋12BD′→＝AB→＋12(BA→＋BC→＋BB′→)＝AB→＋12(－AB→＋AD→＋AA′→)＝12(AB→＋AD→＋AA′→).同理可证：AM→＝12(AB→＋AD→＋AA′→)，AN→＝12(AB→＋AD→＋AA′→).由此可知O，P，M，N四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.[题后感悟]利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：1．空间向量与平面向量的关系空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．如图所示，已知空间向量a，b，我们可以在任意平面α内，以任意点O为起点，作向量OA→＝a，OB→＝b.2．空间向量加法运算的理解(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量．(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍成立．3．熟练应用三角形法则和平行四边形法则(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点．(2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算．注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差．(3)三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中，把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量即表示这有限个向量的和向量．[提醒]空间向量的概念与运算法则同平面向量完全一致．作业:P44:1—7,9----11