周期型方形信号的傅里叶级数展开

周期方形信号的傅里叶级数展开提出问题：用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。设周期为1的方波信号由以下函数给出)2且1(1)1且0()0且1(1)x(xxxxxxxxxf。利用Matlab软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。问题背景：在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。知识基础：周期函数的傅里叶级数展开，Matlab软件实验过程：对于周期为2函数()ft,满足Dirichlet条件，则可展为傅里叶级数经过傅里叶变换得到：111))1(2sin(21)2sin(21))1(2sin(21)(xkxkxkxf将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab软件，编写程序如下：clear;clc;x=linspace(-1,2,3000);y=(x+1).*(x0)+x.*(x=0&x1)+(x-1).*(x=1&x=2);y1=0;01()(cossin).2nnnaftantbnt1()cosnaftntdt1()sinnbftntdt0,1,2n1,2,3nfork=1:10;y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x0);endy1=1/2-y1;y2=0;fork=1:50;y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x=0&x1);endy2=1/2-y2;y3=0;fork=1:100;y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x=1&x=2);endy3=1/2-y3;plot(x,y1)holdonplot(x,y2)plot(x,y3)plot(x,y,'r')axisequal此图当x属于(-1,0)时，傅里叶级数取了前10项此图当x属于(0,1)时，傅里叶级数取了前50项此图当x属于(1,2)时，傅里叶级数取了前100项红线代表实际函数，蓝线代表傅里叶级数展开函数拓展练习：1.可将周期2扩展为任意周期T,则此时方波信号的角频率2/T，当方波信号()ft满足Dirichlet条件时，则可展为傅里叶级数：01()(cossin).2nnnaftantbnt002()dTafttT从而该傅里叶级数展开形式可以更实际用于频谱分析。2.考虑周期矩形或周期锯齿形，及非周期信号的傅里叶级数展开答：非周期信号可以利用傅里叶变换，傅里叶积分detfFdeFtftiti)()()(21)(知识点：第12章第八节一般周期函数的傅里叶级数参考文献：1.王彦良，用有限项傅里叶级数三维趋近周期性方波信号，沈阳工程学院学报(自然科学版)，2006，2，187-189.2.汪逸新，方波信号的傅里叶分解实验，大学物理，1996，15，30-32.3.宋复成，方波信号的傅里叶合成演示，徐州师范大学学报(自然科学版)，1998，16，30-32.02()cosdTnaftnttT02()sindTnbftnttT。