概率论与数理统计课件--区间估计

区间估计的思想点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。引例设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为1145515021370161014301473.45x可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计量可知~0,1XUNn0.95XPn0.951.961.961.96XXnn由查表得置信水平、置信区间设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量1（X1，X2，…，Xn），2（X1，X2，…，Xn），使得P{12}=1-，则称随机区间（1，2）为参数的置信度（或置信水平）为1-的置信区间。1——置信下限2——置信上限几点说明1、参数的置信水平为1-的置信区间（1，2）表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参数的真值。2、不同的置信水平，参数的置信区间不同。3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量，不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也高（1-大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。正态总体方差已知，对均值的区间估计如果总体X~N（，2），其中2已知，未知，则取U-统计量，对做区间估计。XUn对给定的置信水平1-，由确定临界值（X的双侧分位数）得的置信区间为21PUu22,XuXunn将观测值代入，则可得具体的区间。12,,,nxxx例1某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：cm）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）试求该天产品的平均直径EX的点估计；（2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信区间：=0.05；=0.01。解（1）由矩法估计得EX的点估计值为114.615.114.914.815.215.114.956EXx续解（2）由题设知X~N（，0.06）构造U-统计量，得EX的置信区间为22,XuXunn当=0.05时，0.0251.96u而0.0614.95,0.16xn所以，EX的置信区间为（14.754，15.146）当=0.01时，0.0052.58u所以，EX的置信区间为（14.692，15.208）置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。例2假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布N（，2），且标准差=12元，今要对该地旅游者的平均消费额EX加以估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差小于2元，问至少要调查多少人？解由题意知：消费额X~N（，122），设要调查n人。由10.950.05即21.96u1.960.95XPn得查表得而2X1.962n解得21.9612138.292n至少要调查139人正态总体方差未知，对均值的区间估计如果总体X~N（，2），其中，均未知由~(1)XtnSn构造T-统计量XTSn当置信水平为1-时，由2(1)1PTtn查t-分布表确定2(1)tn从而得的置信水平为1-的置信区间为22(1),(1)SSXtnXtnnn例3某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。解由题设可知：口杯的重量X~N（，2）由抽取的9个样本，可得0.1821.49Sxn由10.950.050.025(8)2.306t得查表得20.18(8)2.3060.138369Stn全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）P127例5与P126例3的比较：128025Sxn解由题设可知：平均消费额X~N（，2）10.950.050.025(24)2.064t212(24)2.0644.953625Stn平均消费额的置信区间为（75.0464，84.9536）由得查表得估计误差为24.95369.90722精确度降低——原因：样本容量减少在实际应用中，方差未知的均值的区间估计较有应用价值。练习假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需求？2910100Sxn解由题设可知：平均需求量X~N（，2）0.010.0050.005(99)2.57tu23(99)2.570.771100Stn平均消费额的置信区间为（9.229，10.771）由查表得续解要以99%的概率满足10000户居民对该种商品的需求，则最少要准备的量为9.2291000092290（公斤）最多准备10.77110000107710（公斤）正态总体均值已知，对方差的区间估计如果总体X~N（，2），其中已知，2未知由~(0,1)iXN构造2-统计量2222121~()niniiiXXn查2-分布表，确定双侧分位数从而得2的置信水平为1-的置信区间为12222(),()nn212221122,()()nniiiiXXnn例题已知某种果树产量服从Ｎ（218，2），随机抽取6棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236试以95%的置信水平估计产量的方差。解计算6212931iix查表10.0520.05222(6)1.24,(6)14.45果树方差的置信区间为29312931,202.84,2363.7114.451.24正态总体均值未知，对方差的区间估计如果总体X~N（，2），其中2未知由222(1)~(1)nSn构造2-统计量222(1)nS当置信水平为1-时，由1222222(1)(1)(1)1nSPnn查2-分布表，确定双侧分位数从而得2的置信水平为1-的置信区间为12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn例4设某灯泡的寿命X~N（，2），，2未知，现从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为90%的2的区间估计。解样本方差及均值分别为20.99511.6Sx10.90.1220.0510.05(4)0.711(4)9.488220.05(1)40.9955.5977(4)0.711nS2的置信区间为（0.4195，5.5977）由得查表得220.95(1)0.4195(4)nS小结总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（1）方差已知，对均值的区间估计假设置信水平为1-构造U-统计量，反查标准正态分布表，确定U的双侧分位数22,XuXunn2u得EX的区间估计为小结总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（2）方差未知，对均值的区间估计假设置信水平为1-构造T-统计量，查t-分布临界值表，确定T的双侧分位数22(1),(1)SSXtnXtnnn得EX的区间估计为2(1)tn小结总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（3）均值已知，对方差的区间估计假设置信水平为1-构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数得2的区间估计为12222(),()nn212221122,()()nniiiiXXnn小结总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（4）均值未知，对方差的区间估计假设置信水平为1-构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数得2的区间估计为12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn（1）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量22,XuXunn（2）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量22(1),(1)SSXtnXtnnn总体服从正态分布的对均值的区间估计区间估计（4）均值未知，对方差的区间估计，构造2统计量2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn（3）均值已知，对方差的区间估计，构造2统计量212221122,()()nniiiiXXnn总体服从正态分布的对方差的区间估计区间估计