复旦大学计算机科学与工程系 吴永辉 离散数学 组合数学

组合数学初步第十章鸽笼原理第十一章排列与组合第十二章生成函数与递推关系组合数学/组合论组合数学/组合论：应用数学学科，对于算法研究变得日益重要。计算机算法分类数值计算：方程组求解、积分计算非数值计算：搜索、排序、组合优化（主要是组合算法）设计和分析组合算法的基础是组合数学组合数学的四个方面判定所提出问题的解是否存在的存在性问题确定有解问题其不同解的个数的计数问题对可解问题去把解构造出来的构造性算法从问题的多种构造性算法中择优改进的优化问题。讲授内容组合数学中的存在性问题和计数问题《组合数学》经典教材《组合数学》（第3版），卢开澄，卢华明著，清华大学出版社。（有课件，可拷贝）《组合数学》（英文版.第3版），（美）RichardA.Brualdi，译者：冯舜玺、罗平、裴伟东。校：卢开澄、冯舜玺。PrenticeHall，机械工业出版社。组合数学一、组合数学的历史和发展原因二、组合数学两类一般性问题三、组合学另外两种问题四、组合数学的定义一、组合数学的历史和发展原因1.组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。2.组合数学的历史和发展原因1)计算机的发展,程序的基础往往是求解问题的组合学算法.2)组合数学对于过去很少与数学正式接触的学科的适用性二、组合数学两类一般性问题组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。1.排列的存在性:排列在什么样的(充分和必要)条件下能够实现?2.排列的计数和分类:如果一个排列是可能的,那么就会存在多种方法实现它.此时,就可以计数并将它们分类.组合学问题形式：能否排列……?存在一个……吗?能用多少方法……?计算……的数目.三、组合学另外两种问题研究一个已知的排列构造一个最优的排列四、组合数学的定义组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科。第十章鸽笼原理10.1鸽笼原理的简单形式10.2鸽笼原理的加强形式10.1鸽笼原理的简单形式1,问题的引入实例：某次会议有n位代表参加，每位代表认识其他代表中某些人，则至少有两个人认识的人数是一样的。10.1鸽笼原理的简单形式2,鸽笼定理10.1n+1只鸽子飞回n个笼子，至少有一个鸽笼含有不少于2只鸽子。证明方法：反证例１367人中至少有２人的生日相同。例２10双手套中任取11只，其中至少有两只是完整配对的。3,鸽笼的扩展（抽象）定理10.2s（s1）个元素分成t个组，那么必存在一个组至少含有s/t（这里为“上整数”记号）个元素。证明方法：反证法。证明：若每个组至多含有(s/t-1)元素，则t个组共有元素t(s/t-1)，因为s/ts/t(s/t)+1，所以有t(s/t-1)s，这就导致矛盾。所以必存在一个组至少含有s/t个元素。4,实例1）例10.1设f是D到R的函数，这里|D||R|，令i=|D|/|R|，则D中存在i个元素d1,d2,……,di，使得f(d1)=f(d2)=……f(di)。证明方法：此问题相当于定理10.2，把|D|个元素分到|R|个组中去。证明：在这|R|个组中有一个组至少含有i=|D|/|R|个元素。在同一组中对应的函数值是相等的。所以在D中至少存在i个元素d1,d2,……,di，使得f(d1)=f(d2)=……f(di)。2）例10.2在n+1个小于或等于2n的互不相等的正整数中，必存在两个互质的数。证明：把1,2,……,2n这2n个数分成n个组：{1,2},{3,4},……,{2n-1,2n}；则问题归结为从n个组中取n+1个数，由定理10.1知，至少有2个数取自同一组，由于这两个数是相邻的正整数，故互质。3）例10.31,2,……,2n中任取n+1个互不相同的数中，必存在两个数，其中一个数是另一个数的倍数。证明：因为任何正整数n可以表示成n=2ab（这里a=0,1,2,…，且b为奇数）。设取出的n+1个数为k1,k2,…,kn+1，则ki=2aibi。由于b1,b2,…,bn+1是奇数，共有n+1个，而在{1,2,……,2n}中只有n个不同的奇数，所以必存在i,j，使得bi=bj。不妨设kikj，则有ki/kj=2ai-aj为正整数，因此ki是kj的倍数。4）例10.4一个国际象棋选手为参加国际比赛，突击训练77天，要求每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋。证明：无论如何安排总可以使他在这77天里有连续几天共下21盘棋。证明：用ai表示从第1天到第i天下棋的总盘数（i=1,2,…,77）。由于规定每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，所以1a1a2……a7712(77/7)=132构造新序列：a1+21,a2+21,……,a77+21则有这样的序列：a1,a2,……,a77,a1+21,a2+21,……,a77+21共有154个,但每个不超过153,所以必存在i,j(ji)，使得ai=aj+21，则有ai-aj=21，即在j+1,j+2,…,j+(i-j)的连续i-j天中下了21盘棋。学生思考题：证明对于k=1,2,……,21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k局棋(k=21为上题处理的情况)。能否推断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？5)中国余数定理令m和n为二互素的正整数，并令a和b为两整数，且0am-1以及0bn-1。于是，存在一个正整数x，使得x除以m的余数为a，并且x除以n的余数为b；即x可以写成x=pm+a的同时又可以写成x=qn+b的形式，这里，p和q是两个整数。证明：考虑n个整数a,m+a,2m+a,……,(n-1)m+a，这些整数中的每一个除以m都余a。假设其中的两个除以n有相同的余数r。令这两个数为im+a和jm+a，其中0ijn-1。因此，存在两整数qi和qj，使得im+a=qin+r及jm+a=qjn+r。则有(j-i)m=(qj-qi)n。所以n是(j-i)m的一个因子。由于n与m没有除1以外的公因子，因此n是j-i的一个因子，然而，0ijn-1意味着0j-in-1，也就是说n不可能是j-i的因子。该矛盾产生于我们的假设：a,m+a,2m+a,……,(n-1)m+a中有两个除以n有相同的余数。因此，这n个数中每个除以n有不同的余数。根据鸽巢原理：n个整数0,1,2,……,n-1中每一个作为余数都要出现；特别是数b也是如此。令p为整数，满足0pn-1，且使数x=pm+a除以n余数为b。则对于某个适当的q，x=qn+b。因此，x=pm+a且x=qn+b，从而x具有所要求的性质。学生思考题：举例证明：当m和n不互素时，中国余数定理的结论未必成立。解题要点：确定哪些对象为“鸽子”，哪些对象为“鸽笼”练习10.2鸽笼原理的加强形式1定理10.3设q1,q2,……,qn都是正整数，若把q1+q2+……+qn-n+1个元素分成n个组，则必然发生：或者第一组中至少有q1个元素；或者第二组中至少有q2个元素；……；或者第n组中至少有qn个元素。证明方法：反证法。证明：若结论不成立，则对于i=1,2,…,n，第i组中至多有qi-1个元素，则n个组的元素个数的总和不超过q1+q2+……+qn-n个，这就导致矛盾。2推论1）推论10.1若将n(r-1)+1个元素分成n个组，则至少有一个组含有r个或更多的元素（这里n、r皆为正整数）。2）推论10.2若n个正整数m1,m2,……,mn的平均数满足不等式：则m1,m2,……,mn中至少有一个不小于r。12...1nmmmrn3例题1）例10.5两个同心圆盘的每个圆周均分为200段,从大盘上任选100段涂上红色,其余涂上蓝色,而在小盘的每个小段上任意涂上红色或蓝色.证明:在旋转小盘时可以找到某个位置,使得小盘上至少有100个小段与大盘上对应段颜色相同.证明：固定大盘，对小盘上任一段，在它旋转过程中，可有200个可能旋转位置，与大盘上的所有段构成200种颜色组合，其中同色的有100组，因小盘上共有200段，故小盘上的所有段在旋转一周后，与大盘对应段构成的同色组共有20000个。而旋转一周后，共可转去200段，设i段的同色组为mi（I=1,2,…,200），而总的同色组就是m1+m2+…+m200=20000，因此200个整数m1,m2,…,m200的平均数满足不等式：20000/200=100100-1，所以，由推论10.2，某个位置,使得小盘上至少有100个小段与大盘上对应段颜色相同。2212110.6,,...1naaan2）例设，是个不同实数的序列，则必可从此序列中选出n+1个数的子序列，使这子序列为递增序列或递减序列。习题解析鸽笼原理用于判断是否存在满足鸽笼原理条件的对象，若鸽笼原理的条件成立，则存在满足条件的对象。运用鸽笼原理时必须确定哪些对象相当于鸽子，而哪些对象相当于鸽笼。鸽笼原理形式设函数f是从有限集X到有限集Y的映射，且|X||Y|，则必存在x1,x2X，x1x2，满足f(x1)=f(x2)。鸽笼原理形式例题1.20个处理器连成网络，证明至少有两个处理器与相同数目的处理器直接相连。解题分析：20个处理器编号分别为1,2,3,……,20，（定义域X={1,2,3,……,20}）；ai表示与第i个处理器直接相连的处理器的数目（f(X)）。证明：对于某两个i,j，ij，ai=aj。解：X={1,2,3,……,20},Y={0,1,2,……,19};0和19不能同时作为函数值存在，即不存在两个i,j，ij，ai=0，aj=19。所以|X|=20,|Y|20。根据鸽笼原理形式1，命题成立。2.列表中有80件物品，每个物品的属性为“可用”或“不可用”，共有45个“可用”的物品，证明至少有两件可用物品的编号差恰为9。解题分析：ai表示第i个可用物品的编号；证明：对于某两个i,j，ij，ai-aj=9。证明：考虑下列两组数字：a1,a2,……,a45a1+9,a2+9,……,a45+9这两组共90个数字，取值范围为1-89。因为第一组数字两两不同，第二组数字也是两两不同，所以必存在两个i,j，ij，ai-aj=9。习题解析10.1在边长为2的正三角形中任意放置5个点,证明至少有两个点之间的距离不大于1.解题要点：确定鸽子和鸽笼/*将三角形分成边长为1的4个正三角形*/10.4将一个圆盘分为36段，将1,2,…,36这36个数字任意标在每一段上，使得每一段恰有一个数字。证明：必存在相继的3段，它们的数字之和不小于56。证明：设36个小扇形分别为a1,a2,…,a36。ai中放的数为xi，i=1,2,…,36。1xi36，且当时ij，xixj。将36个小扇形合并成12个大扇形：A1=a1a2a3,A2=a4a5a6,…,A12=a34a35a36，并设Aj中3数之和为yj，j=1,2,…,12。则123611363718372jijiyx将1837个元素分配给12个扇形，由鸽巢原理，至少存在一个扇形，分配给它的元素个数至少是1837/12=56。所以命题成立。例设a1,a2,a3为任意３个整数，b1，b2,b3为a1,a2,a3的任一排列，则a1-b1,a2-b2,a3-b3中至少有一个是偶数．证明:由鸽巢原理，a1,a2,a3为任意３个整数，设这３个数被２除的余数为xxy，于是b1，b2,b3中被２除的余数有２个x，一个y．这样a1-b1,a2-b2,a3-b3被２除的余数必有一个为０．10.3证明:对于任意正整数N,必存在N的一个倍数,使得它仅由数字0和7组成.作业：10.1,10.2,10.5,10.6鸽笼原理形式习题1）5台处理器连成网络，恰有两台与相同数量的处理器相连，可能吗？2）列表中有100件物品，每个物品的属性为“