《常微分方程》课程教学大纲

《常微分方程》课程教学大纲OrdinaryDifferentialEquations课程编号：0070307048适用专业：数学各专业执笔：马永峰适用年级：09-14级一、课程的性质和教学目的课程性质：专业基础课必修课程。在教学培养计划中列为主干课。教学目的：本课程属于应用数学专业和信息与计算科学专业本科生专业基础必修课程。在培养学生的教学计划中，定位不但是数学的基础课程,同时也是将以前所学的知识融会贯通，将理论知识与实际问题相结合的专业课程，对提高学生分析问题和解决问题的能力有很大帮助。通过学习本课程，应使学生掌握解微分方程的基本思想和基本方法，用掌握的理论和方法解决工程问题中的一般问题和计算求解。二、课程教学内容常微分方程的基本概念，一阶微分方程的初等方法，一阶微分方程的解的存在性定理，高阶微分方程，线性微分方程组，非线性微分方程和稳定性。三、课程教学的基本要求第一章绪论了解微分方程的导出和基本概念。第二章一阶微分方程的初等方法主要介绍变量可分离方程、齐次方程、线性方程、贝努利方程、全微分方程和一阶隐方程的解法。重点是变量可分离方程、一阶线性微分方程和全微分方程。要求熟练地掌握判定方程所属类型及其解法。第三章一阶微分方程的解的存在性定理　本章主要介绍一阶微分方程解的存在唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续依赖性与可微性定理，重点讲解一阶方程解的存在性与唯一性。要求学会证明解的存在与唯一性定理，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性定理、解对初值的可微性定理的条件和结论。　第四章高阶微分方程本章主要讲解n阶线性微分方程的性质及其通解结构，常数变易法，n阶常系数线性微分方程的解法，刘维尔公式及其应用，拉普拉斯变换，幂级数解法大意。重点掌握齐次和非齐次方程解之间的关系，解的结构和形式，求解方法。第五章线性微分方程组　本章主要讲解线性微分方程组解的性质、通解、刘维尔公式。重点是线性微分方程组解的性质与常系数线性微分方程组的解法。要求学生掌握线性微分方程组的通解结构定理，会求由两个或三个方程组成的常系数线性方程组的解。重点掌握基解矩阵，求解公式，级数解。第六章非线性微分方程和稳定性本章主要介绍定性理论和稳定性理论的一些基本概念，特别是定性理论和稳定性理论产生的实际背景，从中了解如何创立新的数学方法来解决新问题的。重点是初等奇点的分类、掌握线性和非线性的本质区别、稳定性的基本概念和方法。了解稳定性的基本思想，理解其思想方法以及与其它课程之间的关系，掌握部分比较容易的内容。四、课程教学环节教学环节包括：课堂讲授、习题课、课外作业。通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生的自学能力、动手能力、分析问题解决问题的能力。（一）课堂讲授1.教学方法与手段教学方法上尽量采用启发式、讨论式教学、精讲多练，注重理论联系实际。各章中平行的内容可安排学生自学，以提高学生独立思考和解决问题的能力。更新教学内容，改进教学方法，培养学生的动手能力和创新能力。在条件成熟时采用电子教案、CAI课件，以提高课堂信息量，增加教学的直观性。2.计算机的应用在布置课外作业时可适当安排利用计算机解答有关侧重于计算的部分题目（用Mathematica或Maple软件）。（二）习题课、课外习题1.习题课：根据教学需要，要适当安排习题课、课外习题。2.学生必须独立、按时完成课外习题，习题和作业完成情况应作为评定课程学习成绩的10%。（三）考核本课程考核的形式可根据课程内容而决定，同作业、平时测验、闭卷考试相结合的方式进行，着重对知识的理解和应用，尽量避免死记硬背的考试，在教学中，通过习题的布置，使学生深入理解基本原理及概念，提高分析和解决问题的能力。五、本课程与其它课程的联系与分工本课程的先修科为数学分析，与其联系紧密的后续课程的是复变函数论、实变函数与泛函分析等。六、实验（实践）教学内容及其要求无七、建议学时分配教学内容建议学时备注绪论2一阶微分方程的初等方法10一阶微分方程的解的存在性定理12高阶微分方程14线性微分方程组10非线性微分方程和稳定性10一阶线性偏微分方程2机动复习4根据学习状况安排合计64学时八、建议教材与教学参考书[1]《常微分方程》，王高雄，高等教育出版社，2006年[2]《常微分方程解题方法》，钱详征，湖南科学技术出版社，1984；[3]《常微分方程》，M.罗梭著、叶彦谦译，上海科学技术出版社，1984；《常微分方程》课程简介OrdinaryDifferentialEquations课程编号：0070307048学分：4学时：64讲课学时：64实验学时（实践学时）：0内容简介：本课程主要介绍常微分方程的基本概念，一阶微分方程的几个直接方法，Picard逼近方法，解的延拓、连续性和可微性、唯一性和奇性，齐次和非齐次方程解之间的关系，解的结构和形式，求解方法，基解矩阵，Picard逼近方法，求解公式，级数解，了解Picard逼近的方法和思想，并对具体的方法能够掌握和应用，线性和非线性方程的本质区别，了解稳定性的基本概念和方法。适用专业：数学各专业先修课程：数学分析选用教材：《常微分方程》，王高雄，高等教育出版社，2006年开课单位：理学院应用数学教研室《多元统计分析》课程教学大纲MultivariateStatisticalAnalysis课程编号：0070307020适用专业：数学与应用数学执笔：金桂芹适用年级：08-10级一、课程的性质和教学目的课程性质：多元统计分析是在数理统计学的基础上迅速发展起来的一门学科，又简称多元分析。本课程为数学与应用数学专业学生必修的课程。它的应用范围广泛，无论是自然科学还是社会科学，无论开发研究还是预测和决策，都可以举出很多富有成效的实例。特别是随着电子计算机的普及和软件的发展，信息储存手段以及数据信息的成倍增长，多元分析的方法已广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域。国内国外实际应用中卓有成效的成果，已证明了多元分析方法是处理多维数据不可缺少的重要工具，因而这门学科逐渐受到理论工作者和实际工作者的普遍重视。因此，本课程已成为数学与应用数学专业的重要课程之一。教学目的：通过教学达到如下目标：(1)系统地了解多元统计分析的基本概念和基本原理;(2)掌握一些常用的多元统计思想和统计方法，学会处理常见的多元统计问题；(3)掌握本课程主要介绍五类常用的多元分析方法的原理及其应用，为学生进一步学习有关专业课程打下基础，并为其今后在科技、信息产业、经济、金融等部门从事研究、应用开发和管理工作做好准备。二、课程教学内容第一章绪论与矩阵代数：第二章随机向量：随机向量、一元分布、多元分布、矩和随机向量的变换第三章多元正态分布：多元正态分布的定义、多元正态分布的性质、极大似然估计及其估计量的性质第四章多元正态总体的统计推断：均值向量的检验、均值向量的检验的比较检验、总体相关系数的推断第五章判别分析：判别分析的基本思想包袱、距离判别、Bayes判别、Fisher判别第六章聚类分析：聚类分析的基本思想、相似性度量、系统聚类法、动态聚类法第七章主成分分析：主成分分析的基本思想及几何意义、总体主成分及其性质、样本主成分析第八章因子分析：因子分析的基本理论、参数估计、因子旋转、因子得分第九章典型相关分析：样本典型相关、典型相关系数的显著性检验、典型相关分析的基本理论与方法、典型相关分析的上机实现与案例研究、样本典型相关、典型相关系数的显著性检验三、课程教学的基本要求第一章绪论与矩阵代数：要求学生了解多元统计分析的基本内容及应用领域和本课程的基本安排；掌握矩阵代数的基本知识：如行列式、逆矩阵、矩阵的迹、二次型、正定阵以及矩阵微商等概念。第二章随机向量：要求学生了解随机向量的基本内容；掌握矩阵代数的基本知识：如一元分布、多元分布、矩、随机向量德变换等概念。第三章多元正态分布：熟练掌握多元正态分布密度函数及其数字特征的解析表达式、数字特征的基本性质。利用计算软件，熟练掌握计算任意多元样本的数字特征，如样本均值、样本离差阵、样本协差阵的计算程序，并能较熟练求出多元正态分布均值；掌握极大似然估计及其估计量的性质。第四章多元正态总体的统计推断：了解HotellingT2和Wilks分布的定义及其基本性质；掌握多元正态分布均值向量和协差阵的假设检验，特别是一个和两个多元正态总体的均值向量的检验（包括协差阵已知和协差阵未知的情形），熟悉相应的检验统计量，并要求能利用计算软件，熟练掌握统计量的计算；理解总体相关系数的推断。第五章判别分析：深刻领会判别分析的目的和意义；掌握判别分析中所使用的几种判别尺度的定义和基本性质，包括距离判别法，Fisher判别法,Bayes判别法以及逐步判别法；了解计算程序中有关判别分析的算法基础。第六章聚类分析：深刻领会聚类分析的统计思想，目的和意义；了解变量类型的几种尺度定义；熟悉Q型和R型聚类分析常用的距离和相似系数的定义，特别是Minkowski距离；了解教材中介绍的几种系统聚类方法，以及它们的统一公式；了解模糊聚类的方法和应用范围。第七章主成分分析：了解主成分分析的统计思想和实际意义，以及它的数学模型和二维空间上的几何意义；掌握主成分的推导步骤及其重要的基本性质。能够利用计算软件，自己编程解决实际问题并给出分析报告；熟悉数据处理中的样本标准化（归一化）的实际意义和处理步骤。第八章因子分析：．了解因子分析的目的和实际意义，特别是因子分析模型的统计思想，以及与一般回归模型在本质上的区别；熟悉因子分析数学模型建模的假设条件和各个分量的实际统计意义；掌握由主成分方法估计因子载荷阵的推导步骤，以及重要的基本性质；能够利用计算软件，自己编程解决实际问题中的因子分析问题，同时能给出初步的统计分析报告。第九章典型相关分析：了解典型相关分析的目的和基本统计思想，以及典型相关分析的实际意义；了解计算软件程序中有关典型相关分析的基本内容。四、课程的教学环节要求教学环节主要包括：课堂讲授、作业、实验（践）、考核等。（一）课堂讲授教学方法上尽量采用启发式、讨论式教学，多提问题，安排一些自学内容，鼓励学生自学，培养学生的自学能力。结合实际，更新教学内容，改进教学方法。目前只是采用课堂讲授，在条件成熟时采用电子教案、CAI课件，以提高课堂信息量，增加教学的直观性。（二）习题课、课外习题1.习题课：根据教学需要，适当安排习题课、课外习题。2.学生必须独立、按时完成课外习题和作业，习题和作业完成情况应作为评定课程学习成绩10%（根据课程性质和要求确定）。3.定期安排辅导答疑（三）实验本课程的实践教学可融入课程的讲解过程中，并适当的安排学生的上机操作的时间。配合教材可选用以下通用计算软件：SAS，SPSS。（四）考核本课程的考核同平时作业、测验、出勤情况和期末考试采用闭卷的方式相结合，期末考试可采用填空、选择、简答、判断、计算题、证明、解答等题型。最后总评成绩由期末成绩（80%）与平时成绩（20%）综合评定。五、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：数学分析，高等代数，概率论，数理统计。后续课程：统计预测，实用统计分析等。六、实验（实践）环节内容及其要求本课程的实践教学可融入课程的讲解过程中，并适当的安排学生的上机操作的时间。配合教材可选用以下通用计算软件：SAS，SPSS。七、建议学时分配教学内容建议学时备注第一章绪论与矩阵代数4第二章随机向量4可适当安排上机第三章多元正态分布4可适当安排上机第四章多元正态总体的统计推断4可适当安排上机第五章判别分析6可讲解习题，适当安排上机第六章聚类分析6可适当安排上机第七章主成分分析4可适当安排上机第八章因子分析6可适当安排上机第九章典型相关分析6可适当安排上机总复习4上机实现合计学时八、建议教材与教学参考书［1］《应用多元分析》，王学民，上海财经大学出版社，2004［2］《多元统计分析》，于秀林，任雪松，中国统计出版社，1999［3］《实用多元统计分析》，方开泰，华东师范大学出版社，1989［4］《多元统计分析》，何晓群，中国人民大学出版社，2004［5］《实用多元统计分析》，王学仁、王松桂，上海科技