电感及互感

几种实际的电感线圈如图5.9所示。图5.9几种实际电感线圈示例i图5.10电感线圈原理示意图尽管实际的电感线圈形状各异，但其共性都是线圈中通以电流i，在其周围激发磁场(magneticfiled)，从而在线圈中形成与电流相交链的磁通(flux)Φ（两者的方向遵循右螺旋法则），与线圈交链成磁链ψ，如图5.10所示。5.2电感元件基本要求：熟练掌握电感元件端口特性方程、能量计算及串并联等效变换。电感元件的特性用电流与磁链关系来表征，其电路符号如图5.11所示对应的磁链－电流关系是一条通过平面原点的直线且位于Ⅰ、Ⅲ象限，图5.11(c)表示其特性(a)(b)LL图5.11线性电感的符号及其特性电感[系数](inductance)。单位亨[利](符号H)Li如果线圈的磁场存在于线性介质，称为线性电感，磁链与电流成正比iO(c)uLie可调电感固定电感对线性电感，其端口特性方程Ldd(5.18)ddiΨueLtt即线性电感的端口电压与端口电流的时间变化率成正比。因为电感上电压－电流关系是微分或积分关系，所以电感也属动态元件。若已知电压求磁链或电流，则00()()d()()d(5.19)tttΨtutu0011()()d()()d(5.20)tttituituLL此两式表明，电感中某一瞬间的磁链和电流决定于此瞬间以前的全过程的电压，因此电感也属于记忆元件。根据电磁感应定律和楞茨定律，当电压、电流方向如图下图所示，并且电流与磁通的参考方向遵循右螺旋法则时，端口电压u与感应电动势e关系如下d(5.17)dΨuetuLie线性电感吸收的功率为twLittiiLuipdd)21(ddddm2电感存储的磁场能量（）mw截止到t时刻电感吸收的能量为:2m()1()d()d()()2tiiiwpLiiLii上式说明电感吸收的总能量全部储存在磁场中，所以电感又是无损元件。电感的串联：电感也可以串联或并联。仿照电容串、并联电路的分析可以得出结论：电感串联时，等效电感等于各电感之和，即eq12NLLLL1L2LNLeqLuuii图5.12电感的串联等效22m1()0,22iwLiL若假设则有电感也是储能元件。电感的并联：电感并联时，等效电感的倒数等于各电感倒数之和，即说明：从电路模型上讲，电感在串联或并联之前可以假设存在一定的磁链或电流。这样，串联或并联联接后，除须计算等效电感外，还须计算等效电感的初始磁链或初始电流。NeqLLLL1111211L2LNLuieqLui图5.13电感的并联等效解根据电流的变化规律，分段计算如下:s20)1(tA51t.iV15.0V)5.11.0(dtdiLuW225.0tuip22m10.1125J2wLit:s4s2)2(tA3i0dtdiLu0uip2m10.45J2wLi(a)uLitis2s4A3O(b)s6电路如图(a)所示，0.1H电感通以图(b)所示的电流。求时间电感电压、吸收功率及储存能量的变化规律。0t例题5.3图5.14例题5.3:s6s4)3(tA35.1tid0.11.5V0.15VdiuLtW)45.0225.0(tuip22m1(0.11250.450.45)J2wLitt:s6)4(t电压、功率及能量均为零。各时段的电压、功率及能量的变化规律如右图(c)、(d)、(e)所示。小结：本题可见，电流源的端电压决定于外电路，即决定于电感。而电感电压与电流的变化率成正比。因而当时，虽然电流最大，电压却为零。s4s2tutV15.0V15.00ptW45.0W45.00tJ45.0mw0(c)(d)(e)tis2s4A30(b)s6当几个线圈之间存在着磁耦合，便形成了多端口电感。本节只讨论二端口电感，习惯上称为互感[元件]，如图5.15所示。11211i1L2L1u2u12原边副边3422122i1L2L1u2u12原边副边34图5.15两个线圈的磁耦合(a)(b)5.3耦合电感基本要求：透彻理解同名端的概念、熟练掌握互感元件端口方程和互感元件的串并联等效电路。每一线圈的总磁链是自感磁链和互感磁链代数和。在线性条件下，自感磁链和互感磁链均正比与激发它们的电流，设电流与自感磁链的参考方向符合右手螺旋关系，则21211112111iLiL22212122212iLiL式中互感磁链前正负号，由自感磁链和互感磁链的方向而定，一致取“+”；否则取“–”2211LL、—自感；21LL、简写成2112LL、—互感；一般实际线圈MLL211221ii自感应磁链2211互感应磁链122111211i1L2L1u2u12原边副边3422122i1L2L1u2u12原边副边34图5.15两个线圈的磁耦合在图5.16a中，可明显地判断自感磁链和互感磁链的方向是相同或相反。但当将实际线圈抽象成图5.16(b)所示的电路模型时，就靠电流进、出同名端来判断互感磁链的+（或-）。＋－＋－u2u1i2i112i2i1ψ1ψ2ψ12ψ21ψ11ψ22（b）图5.16a互感**1i2i1u2u图5.16b互感元件的模型1L2LM同名端使所激发的自感磁链和互感磁链方向一致的两个线圈电流的进端或出端。换言之，两个端口电流都流进（或流出）同名端，表示它们所激发的自感磁链和互感磁链方向一致，（总磁链在原自感磁链基础上增强）。则互感磁链前应取正号。当两个电流的参考方向是从非同名端流入时，它们所激发的自感磁链与互感磁链方向相反，则互感磁链前应取负号。如图5.17同名端也可以等价说成：当某线圈电流增加时，流入电流的端子与另一线圈互感电压为正极性的端子为同名端。根据这一原理，在实验中，使某线圈流入递增电流，通过测试另一线圈互感电压的极性便可找出同名端。1i12ddiuMt+-**1i12ddiuMt+-**2i21ddiuMt+-**2i+-**21ddiuMtMMMM(a)(b)(c)(d)图5.17同名端与互感电压的符号关系举例+-2u1L2L根据电磁感应定律，在端口电压、电流为关联参考方向，并且自感磁通与电流符合右手螺旋关系时，互感元件的电压电流方程为tiLtiMtiLtiLtΨutiMtiLtiLtiLtΨudddddddddddddddddddd2212221212221121211111若式中u1、i1或u2、i2的参考方向相反，则L1或L2前应添入负号；若u1、i2或u2、i1的参考方向相对星标*是相同的，则M前取正号，否则应取负号.**1i2i1u2u互感元件的符号1L2LM1211ddddiiuLMtt实用上，上述列写互感方程的方法称为逐项判断法。分析1）从图(a)知，端口1的电压和电流为关联参考方向，自感电压前为正，2）引起互感电压的电流参考方向是从所在端口2的非*指向*端，与引起的电流从自端口*端指向非*端方向相反，因此前取负；11u12u2i11u1i12u22u21u1i2u21u3）端口2的电压和电流为非关联参考方向,自感电压前为负，4）引起互感电压的电流参考方向是从端口1的*指向非*端，相对与端口2来说与的参考方向关联一致，故前取正。故图（a）所示的互感元件特性方成为：1222ddddiiuMLtt[补充5.2]列出图示两个互感元件的特性方程**1i2i1u2u（a）1L2LM基于相似解释，图（b）所示互感元件的特性方程。tiLtiMutiMtiLudddddddd22122111**1i2i1u2u（b）1L2LM1122112112222211122222m111222[(dd)(dd)][(dd)(dd)]d1dd1()()()d2dd2dd11()d22dPuiuiLitMitiMitLitiLiMiiLitttwLiMiiLitt正如一端口电感那样，输入互感的总能量将全部转化为磁场能量，磁能22m1122121122wLiLiMiim0w如果没有磁耦合，M=0，磁能就是两个自感元件分别储能之和。存在磁耦合时，要增减一项Mi1i2，增与减要视互感的作用是使磁场增强还是使磁场减弱而定。定义耦合系数21LLMk用来衡量互感耦合的程度两个线圈全耦合两个线圈无耦合1010kkk互感总功率，在关联参考方向下**1i2i1u2u1L2LM含互感元件电路的联接121212eqdddddd()()(2)ddddddiiiiiiuuuLMMLLLMLtttttteq122LLLM为由此可得串联等效电感如图5.18c所示，eqLui图5.18c注：正串2M前取正,等效电感大于俩自感之和;反串2M前取负，等效电感小于俩自感之和1互感元件的串联电流从同名端流入→正串(或顺接)电流从异名端流入→反串(或反接)Mu**1L2L1u2uiMu**1L2L1u2ui图5.18a图5.18b2互感元件的并联（3）代入（1）得：（3）代（2）得：由此消去互感的等效电路如图5.19(b)图5.19(a)互感两同名端并联电路**1L2LM1iiu图5.19(a)表示两个同名端相接。为求其等效电路，分别列KCL和KVL方程：12(3)iii121dd(1)ddiiuLMtt122dd(2)ddiiuMLtt111abdddd()ddddiiiiuMLMLLtttt222acdddd()ddddiiiiuMLMLLttttab1c2(5.36)LMLLMLLMiu2i1iaLbLcL图5.19(b)图中各等效电感为同理，异名端联接时的总等效电感为MLLMLLL221221'对于实际的耦合线圈，无论何种串联或何种并联，其等效电感均为正值。所以自感和互感满足如下关系)(2121LLM21LLM耦合系数满足121LLMk如无需计算电流，根据电感的串、并联等效，图5.19(b)可进一步等效成一个电感，如图5.19(c)，12ii、eqLui图5.19(c)iu2i1iaLbLcL(b)MLLMLLLLLLLL221221cbcbaeq等效电感3互感线圈的T型联接ab1c2LMLLMLLM图5.20(b)中各等效电感为2i2i1i(a)(b)aLii1ibLcL1231231L2LM1R2R2R1R图5.20互感的T型等效电路如图5.20(a)所示，图5.20(b)是不含磁耦合的等效电路由于耦合线圈含有电阻，在较接近实际的电路模型中两自感都含有串联电阻。其等效电感的计算与式(5.36)相同。就是说，即便模型中含有串联电阻,也可以通过这种方法来消除互感，得到无互感等效电路。一个实际耦合电感，例如空心变压器(一种绕在非铁磁材料上的变压器)，一般需要考虑绕组电阻，此时可用带有串联等效电阻的互感来表示其电路模型，如图5.21所示。图中u1与i2参考方向相对星标*是相反的，u2与i1也是相反的，故M前均应取负号，端口特性方程将是：tiLtiMiRutiMtiLiRudddddddd221222211111**1i2i1u2u图5.21变压器电路模型1L2LMR1R2