矩阵论简明教程课件绪论+第一章

矩阵论教材：矩阵论简明教程（第二版）徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著科学出版社第一章矩阵的基础知识§1.1矩阵的运算§1.2方阵的行列式§1.3矩阵的秩§1.4特殊矩阵类§1.1矩阵的运算一、矩阵的概念1、数集R—实数集，C—复数集2、矩阵的记号111212122212nnijmnmmmnaaaaaaAaaaaNotations1;mnmnR所有实矩阵集合记为2;mnmnC所有复矩阵集合记为3;nnR所有维实列向量集合记为4;nnC所有维复列向量集合记为二、矩阵的运算1、加法，减法,,ijijmnmnijijmnAaBbABab若则2、数乘,,ijijmnmnAaAaC若则3、乘法11221,,,ijijmrrnrijijijijirrjikkjmnkAaBbABccabababab若则其中4、转置与共轭转置111211121121222122221212=nmnmTmmmnnnmnijjimnnmaaaaaaaaaaaaAAaaaaaaaa设，则112111222212,mmHijijijmnnnmnaaaaaaAaaaaaa其中是复数的共轭.三、矩阵的块运算111211112121222212221212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB设1、加法，减法111112121121212222221122,,rrrrsssssrsrABABABABABABABABABAB则2、数乘111211112121222212221212rrrrsssrsssrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设，则3、乘法111211112121222212221212,trtrsssttttrAAABBBAAABBBABAAABBB设1112121222112,1,2,,;1,2,,rtrijikkjksssrCCCCCCABCABCCCisjr则其中4、转置与共轭转置111211121121222122221212,TTTrsTTTrTsTTTsssrrrsrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设则112111222212HHHsHHHHsHHHrrsrAAAAAAAAAA§1.2方阵的行列式一、行列式的定义与性质1112121222121detnnnnnnaaaaaaAAaaa、111211111121211(1)(1)...(1)nnnaaaMMM1111111(1)(1)nnjjjjjjjaaAM212,12,12313,13,1311,1,1(1,2,,)jjnjjnjnnjnjnnaaaaaaaaaaaajnM其中121212122det(1)nnnjjjjjnjjjjAaaaA、二、块矩阵的行列式1,,,,00100mmmnnmnnABCDAABAADDDCDCCCC、设则211mnmnABCDBACDABDC3mABABCDCD00300nnEEEAEBABABIICDCDCDABECD0000mmABFABIABICDFCDFCDFABFCD040mnmnIABABEICEADEBCDIABABABAFEICDCDCDCF即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，值不变。Example1,,nnABABABABBAC设证明证：0ABABABBBABAABABABABExample2,,,,,nnABCDAACCAABADCBCDC设且可逆，证明证：110ABABADCABCDDCAB111ADCABADACABADCAABADCBExample3,,mnnmnmmnABIABIBACC设证明证：=000mnmnmmmmnnnnIABAIABIIAIIAIBIBIBIBI左边=000mmnnmmmmnnnnIAIBAIBAIIAIIABIBIBIBI右边左边三、Vandermond行列式122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx1()jiijnxx一、矩阵秩的定义及基本性质1、秩的定义§1.3矩阵的秩1rankArA的行向量组的极大线性无关组中向量的个数2rankArA的列向量组的极大线性无关组中向量的个数3rankArA的最高阶非零子式的阶数23823rank21222,0,21213123821220.131例如因为但2、基本性质（1）初等变换不改变矩阵秩；2,,PQBPAQrankArankB若可逆，且则3,0,mnnAWxAxrankAdimWnCC设则二、矩阵秩等式1THrankArankArankA2HrankAArankA三、矩阵秩不等式0100AACrankArankBrankrankBB0020AArankArankBrankrankBDB300rankArankArankABAArankArankrankB40;0rankArankArankAABrankABBBrankBrankrankrankABAB定理11,,;mnABrankABrankArankBC设则2,min,mnnkABrankArankBnrankABrankArankBCC设,则推论1,0,mnnkABABrankArankBnCC设,且则§1.4特殊矩阵一、几类基本的特殊矩阵1、零矩阵，单位矩阵2、对角矩阵11221122,,,nnnnaaDdiagaaaa3、三角矩阵11121222...0...00...nnnnaaaaaa上三角矩阵112122120...0...0;...nnnnaaaaaa下三角矩阵二、正规矩阵定义1,,nnHHAAAAAAAC设若满足则称为正规矩阵.以下矩阵都是正规矩阵：1,;nnTAAAR实对称阵：2,;nnTAAAR实反对称阵：3,;nnTTAAAAAIR实正交矩阵：4,;nnHAAACHermite矩阵：5,;nnHAAAC反Hermite矩阵：6,;nnHHAAAAAIC酉矩阵：定义2,,nnHHAAAAAAIAC设若满足则称为酉矩阵.三、初等矩阵1、定义I单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.有以下三类初等矩阵：定义310111,1101EijRowiRowj11211Eikk113,11kEijk2、三种初等矩阵的统一表示,,,,,,nHnuvEuvIuvCC设记则10111,1101Eij1011111110000000njiijIeeee00100100njiIee,,1HnjijiijijIeeeeEeeee11211Eikk1010111010k001001001001niniHniiIekIkeIkee,,1iiEeek113,11kEijk10101010k000000100,,niniHnijijIkeIkeIkeeEeekdet,,detdet11HHnHEuvIuvvuvuRemark(nmmnIABIBA由得到）四、其他特殊矩阵10,:;kAk幂零矩阵：某正整数22;AA幂等矩阵：3,,0,,0nnTTnAAAxAxxxRR实对称正定矩阵：且4,,0,,0nnHHnAAAxAxxxCCHermite正定矩阵：且第1章矩阵的相似变换§2.1矩阵的特征值与特征向量§2.2矩阵的相似对角化§2.3矩阵的Jordan标准形§2.4Hamilton-Cayley定理§2.5矩阵的酉相似一、特征值与特征向量1、定义,,0nnnAxxAxxAxACCC设若存在数和使得则称是的特征值，称为属于的特征向量。§2.1矩阵的特征值与特征向量定义12、特征多项式,0nnnnnAIAAIAAIAAC设称为的特征矩阵，称det为的特征多项式,称det为的特征方程。定义2Remarks1AA的特征值就是的特征方程的根；2nAn阶方阵在复数范围内一定有个特征值。3、特征值与特征向量的求法21det0,,,,nnnnAIAnAC1设求的个根它们即为的全部特征值；20,iniIAxA求解齐次方程组其非零解向量即为的对应特征值的特征向量；例1122224,242AA设求的特征值与特征向量解2122det22427242AIA的特征多项式为12327.A所以的特征值为，12220.1221222244000244000IAxIA当时，解方程组由12221,001xx得基础解系121122122,,0.kxkxkk所以对应的全部特征向量为其中不同时为3770.822100.57254011245000IAxIA当时，解方程组由3333312,720.xkxk